Theorem madetsmelbas 19133

Description: A summand of the determinant of a matrix belongs to the underlying ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsmelbas.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
madetsmelbas.s	|- S = (pmSgn ` N )
madetsmelbas.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
madetsmelbas.a	|- A = ( N Mat R )
madetsmelbas.b	|- B = ( Base ` A )
madetsmelbas.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
madetsmelbas	|- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> ( ( ( Y o. S ) ` Q ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   Q, n   R, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)   G( n)   Y( n)

Proof of Theorem madetsmelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 17404	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2	1	3ad2ant1 1015	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> R e. Ring )
3		madetsmelbas.a	. . . . . 6 |- A = ( N Mat R )
4		madetsmelbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` A )
5	3, 4	matrcl 19081	. . . . 5 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
6	5	simpld 457	. . . 4 |- ( M e. B -> N e. Fin )
7	6	3ad2ant2 1016	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> N e. Fin )
8		simp3 996	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> Q e. P )
9		madetsmelbas.p	. . . 4 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
10		madetsmelbas.s	. . . 4 |- S = (pmSgn ` N )
11		madetsmelbas.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
12	9, 10, 11	zrhcopsgnelbas 18804	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` Q ) e. ( Base ` R ) )
13	2, 7, 8, 12	syl3anc 1226	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` Q ) e. ( Base ` R ) )
14		madetsmelbas.g	. . . 4 |- G = (mulGrp ` R )
15		eqid 2454	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
16	14, 15	mgpbas 17342	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` G )
17	14	crngmgp 17401	. . . 4 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
18	17	3ad2ant1 1015	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> G e. CMnd )
19		simp2 995	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> M e. B )
20	3, 4, 9	matepmcl 19131	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P /\ M e. B ) -> A. n e. N ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) )
21	2, 8, 19, 20	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> A. n e. N ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) )
22	16, 18, 7, 21	gsummptcl 17190	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) e. ( Base ` R ) )
23		eqid 2454	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
24	15, 23	ringcl 17407	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( Y o. S ) ` Q ) e. ( Base ` R ) /\ ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( Y o. S ) ` Q ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
25	2, 13, 22, 24	syl3anc 1226	1 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> ( ( ( Y o. S ) ` Q ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   |-> cmpt 4497   o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   gsum_g cgsu 14930   SymGrpcsymg 16601  pmSgncpsgn 16713  CMndccmn 16997  mulGrpcmgp 17336   Ringcrg 17393   CRingccrg 17394   ZRHomczrh 18712   Mat cmat 19076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-word 12526  df-lsw 12527  df-concat 12528  df-s1 12529  df-substr 12530  df-splice 12531  df-reverse 12532  df-s2 12804  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-gim 16506  df-cntz 16554  df-oppg 16580  df-symg 16602  df-pmtr 16666  df-psgn 16715  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-rnghom 17559  df-subrg 17622  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-cnfld 18616  df-zring 18684  df-zrh 18716  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mat 19077

This theorem is referenced by: (None)