Theorem madetsmelbas 18462

Description: A summand of the determinant of a matrix belongs to the underlying ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
madetsmelbas.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
madetsmelbas.s	|- S = (pmSgn ` N )
madetsmelbas.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
madetsmelbas.a	|- A = ( N Mat R )
madetsmelbas.b	|- B = ( Base ` A )
madetsmelbas.g	|- G = (mulGrp ` R )

Assertion

Ref	Expression
madetsmelbas	|- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> ( ( ( Y o. S ) ` Q ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   Q, n   R, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)   G( n)   Y( n)

Proof of Theorem madetsmelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngrng 16763	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2	1	3ad2ant1 1009	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> R e. Ring )
3		madetsmelbas.a	. . . . . 6 |- A = ( N Mat R )
4		madetsmelbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` A )
5	3, 4	matrcl 18423	. . . . 5 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
6	5	simpld 459	. . . 4 |- ( M e. B -> N e. Fin )
7	6	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> N e. Fin )
8		simp3 990	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> Q e. P )
9		madetsmelbas.p	. . . 4 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
10		madetsmelbas.s	. . . 4 |- S = (pmSgn ` N )
11		madetsmelbas.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
12	9, 10, 11	zrhcopsgnelbas 18136	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin /\ Q e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` Q ) e. ( Base ` R ) )
13	2, 7, 8, 12	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> ( ( Y o. S ) ` Q ) e. ( Base ` R ) )
14		madetsmelbas.g	. . . 4 |- G = (mulGrp ` R )
15		eqid 2451	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
16	14, 15	mgpbas 16704	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` G )
17	14	crngmgp 16761	. . . 4 |- ( R e. CRing -> G e. CMnd )
18	17	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> G e. CMnd )
19		simp2 989	. . . 4 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> M e. B )
20	3, 4, 9	matepmcl 18460	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P /\ M e. B ) -> A. n e. N ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) )
21	2, 8, 19, 20	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> A. n e. N ( ( Q ` n ) M n ) e. ( Base ` R ) )
22	16, 18, 7, 21	gsummptcl 16565	. 2 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) e. ( Base ` R ) )
23		eqid 2451	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
24	15, 23	rngcl 16766	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( Y o. S ) ` Q ) e. ( Base ` R ) /\ ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( Y o. S ) ` Q ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
25	2, 13, 22, 24	syl3anc 1219	1 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ Q e. P ) -> ( ( ( Y o. S ) ` Q ) ( .r ` R ) ( G gsumg ( n e. N |-> ( ( Q ` n ) M n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070   |-> cmpt 4450   o. ccom 4944   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Fincfn 7412   Basecbs 14278   .rcmulr 14343   gsum_g cgsu 14483   SymGrpcsymg 15986  pmSgncpsgn 16099  CMndccmn 16383  mulGrpcmgp 16698   Ringcrg 16753   CRingccrg 16754   ZRHomczrh 18042   Mat cmat 18391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-addf 9464  ax-mulf 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-word 12333  df-concat 12335  df-s1 12336  df-substr 12337  df-splice 12338  df-reverse 12339  df-s2 12579  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-prds 14490  df-pws 14492  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-gim 15891  df-cntz 15939  df-oppg 15965  df-symg 15987  df-pmtr 16052  df-psgn 16101  df-cmn 16385  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-rnghom 16914  df-subrg 16971  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-cnfld 17930  df-zring 17995  df-zrh 18046  df-dsmm 18268  df-frlm 18283  df-mat 18393

This theorem is referenced by: (None)