Theorem m2detleiblem6 19254

Description: Lemma 6 for m2detleib 19259. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	|- N = { 1 , 2 }
m2detleiblem1.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
m2detleiblem1.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
m2detleiblem1.s	|- S = (pmSgn ` N )
m2detleiblem1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
m2detleiblem1.i	|- I = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem6	|- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( I ` .1. ) )

Proof of Theorem m2detleiblem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 9608	. . . . 5 |- 1 e. _V
2		2nn 10714	. . . . 5 |- 2 e. NN
3		prex 4698	. . . . . . 7 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. _V
4	3	prid2 4141	. . . . . 6 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
5		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
6		m2detleiblem1.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
7		m2detleiblem1.n	. . . . . . 7 |- N = { 1 , 2 }
8	5, 6, 7	symg2bas 16549	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> P = { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } )
9	4, 8	syl5eleqr 2552	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P )
10	1, 2, 9	mp2an 672	. . . 4 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P
11		eleq1 2529	. . . 4 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( Q e. P <-> { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P ) )
12	10, 11	mpbiri 233	. . 3 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> Q e. P )
13		m2detleiblem1.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
14		m2detleiblem1.s	. . . 4 |- S = (pmSgn ` N )
15		m2detleiblem1.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
16	7, 6, 13, 14, 15	m2detleiblem1 19252	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
17	12, 16	sylan2 474	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
18		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
19	18	adantl 466	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
20		eqid 2457	. . . . 5 |- ran (pmTrsp ` N ) = ran (pmTrsp ` N )
21		eqid 2457	. . . . 5 |- (pmSgn ` N ) = (pmSgn ` N )
22	7, 5, 6, 20, 21	psgnprfval2 16674	. . . 4 |- ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) = -u 1
23	19, 22	syl6eq 2514	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = -u 1 )
24	23	oveq1d 6311	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) = ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) )
25		ringgrp 17329	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
26		eqid 2457	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
27	26, 15	ringidcl 17345	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
28		eqid 2457	. . . . 5 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
29		m2detleiblem1.i	. . . . 5 |- I = ( invg ` R )
30	26, 28, 29	mulgm1 16287	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ .1. e. ( Base ` R ) ) -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
31	25, 27, 30	syl2anc 661	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
32	31	adantr 465	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
33	17, 24, 32	3eqtrd 2502	1 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( I ` .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   {cpr 4034   <.cop 4038   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510   -ucneg 9825   NNcn 10556   2c2 10606   Basecbs 14643   Grpcgrp 16179   invgcminusg 16180  ._gcmg 16182   SymGrpcsymg 16528  pmTrspcpmtr 16592  pmSgncpsgn 16640   1rcur 17279   Ringcrg 17324   ZRHomczrh 18663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-word 12545  df-lsw 12546  df-concat 12547  df-s1 12548  df-substr 12549  df-splice 12550  df-reverse 12551  df-s2 12824  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-oppg 16507  df-symg 16529  df-pmtr 16593  df-psgn 16642  df-cmn 16926  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-rnghom 17490  df-subrg 17553  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zrh 18667

This theorem is referenced by:  m2detleib  19259