Theorem m2detleiblem6 18557

Description: Lemma 6 for m2detleib 18562. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	|- N = { 1 , 2 }
m2detleiblem1.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
m2detleiblem1.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
m2detleiblem1.s	|- S = (pmSgn ` N )
m2detleiblem1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
m2detleiblem1.i	|- I = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem6	|- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( I ` .1. ) )

Proof of Theorem m2detleiblem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 9485	. . . . 5 |- 1 e. _V
2		2nn 10583	. . . . 5 |- 2 e. NN
3		prex 4635	. . . . . . 7 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. _V
4	3	prid2 4085	. . . . . 6 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
5		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
6		m2detleiblem1.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
7		m2detleiblem1.n	. . . . . . 7 |- N = { 1 , 2 }
8	5, 6, 7	symg2bas 16014	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> P = { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } )
9	4, 8	syl5eleqr 2546	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P )
10	1, 2, 9	mp2an 672	. . . 4 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P
11		eleq1 2523	. . . 4 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( Q e. P <-> { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P ) )
12	10, 11	mpbiri 233	. . 3 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> Q e. P )
13		m2detleiblem1.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
14		m2detleiblem1.s	. . . 4 |- S = (pmSgn ` N )
15		m2detleiblem1.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
16	7, 6, 13, 14, 15	m2detleiblem1 18555	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
17	12, 16	sylan2 474	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
18		fveq2 5792	. . . . 5 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
19	18	adantl 466	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
20		eqid 2451	. . . . 5 |- ran (pmTrsp ` N ) = ran (pmTrsp ` N )
21		eqid 2451	. . . . 5 |- (pmSgn ` N ) = (pmSgn ` N )
22	7, 5, 6, 20, 21	psgnprfval2 16140	. . . 4 |- ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) = -u 1
23	19, 22	syl6eq 2508	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = -u 1 )
24	23	oveq1d 6208	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) = ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) )
25		rnggrp 16765	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
26		eqid 2451	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
27	26, 15	rngidcl 16780	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
28		eqid 2451	. . . . 5 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
29		m2detleiblem1.i	. . . . 5 |- I = ( invg ` R )
30	26, 28, 29	mulgm1 15757	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ .1. e. ( Base ` R ) ) -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
31	25, 27, 30	syl2anc 661	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
32	31	adantr 465	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
33	17, 24, 32	3eqtrd 2496	1 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( I ` .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3071   {cpr 3980   <.cop 3984   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   1c1 9387   -ucneg 9700   NNcn 10426   2c2 10475   Basecbs 14285   Grpcgrp 15521   invgcminusg 15522  ._gcmg 15525   SymGrpcsymg 15993  pmTrspcpmtr 16058  pmSgncpsgn 16106   1rcur 16717   Ringcrg 16760   ZRHomczrh 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-addf 9465  ax-mulf 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-word 12340  df-concat 12342  df-s1 12343  df-substr 12344  df-splice 12345  df-reverse 12346  df-s2 12586  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-ghm 15856  df-gim 15898  df-oppg 15972  df-symg 15994  df-pmtr 16059  df-psgn 16108  df-cmn 16392  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-cring 16763  df-rnghom 16921  df-subrg 16978  df-cnfld 17937  df-zring 18002  df-zrh 18053

This theorem is referenced by:  m2detleib  18562