MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem6 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem6 19254
Description: Lemma 6 for m2detleib 19259. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem1.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem1.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
m2detleiblem1.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
m2detleiblem1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
m2detleiblem1.i  |-  I  =  ( invg `  R )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  ( I `
 .1.  ) )

Proof of Theorem m2detleiblem6
StepHypRef Expression
1 1ex 9608 . . . . 5  |-  1  e.  _V
2 2nn 10714 . . . . 5  |-  2  e.  NN
3 prex 4698 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  _V
43prid2 4141 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }
5 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
6 m2detleiblem1.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
7 m2detleiblem1.n . . . . . . 7  |-  N  =  { 1 ,  2 }
85, 6, 7symg2bas 16549 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
94, 8syl5eleqr 2552 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  P
)
101, 2, 9mp2an 672 . . . 4  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. }  e.  P
11 eleq1 2529 . . . 4  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( Q  e.  P  <->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. }  e.  P
) )
1210, 11mpbiri 233 . . 3  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  Q  e.  P
)
13 m2detleiblem1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
14 m2detleiblem1.s . . . 4  |-  S  =  (pmSgn `  N )
15 m2detleiblem1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
167, 6, 13, 14, 15m2detleiblem1 19252 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )
1712, 16sylan2 474 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
18 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( (pmSgn `  N ) `  Q
)  =  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( (pmSgn `  N
) `  Q )  =  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
20 eqid 2457 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
21 eqid 2457 . . . . 5  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
227, 5, 6, 20, 21psgnprfval2 16674 . . . 4  |-  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } )  =  -u
1
2319, 22syl6eq 2514 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( (pmSgn `  N
) `  Q )  =  -u 1 )
2423oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  )  =  ( -u
1 (.g `  R )  .1.  ) )
25 ringgrp 17329 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
26 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2726, 15ringidcl 17345 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
28 eqid 2457 . . . . 5  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
29 m2detleiblem1.i . . . . 5  |-  I  =  ( invg `  R )
3026, 28, 29mulgm1 16287 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  .1.  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( -u 1 (.g `  R )  .1.  )  =  ( I `
 .1.  ) )
3125, 27, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( -u
1 (.g `  R )  .1.  )  =  ( I `
 .1.  ) )
3231adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( -u 1 (.g `  R
)  .1.  )  =  ( I `  .1.  ) )
3317, 24, 323eqtrd 2502 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  ( I `
 .1.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   {cpr 4034   <.cop 4038   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510   -ucneg 9825   NNcn 10556   2c2 10606   Basecbs 14643   Grpcgrp 16179   invgcminusg 16180  .gcmg 16182   SymGrpcsymg 16528  pmTrspcpmtr 16592  pmSgncpsgn 16640   1rcur 17279   Ringcrg 17324   ZRHomczrh 18663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-word 12545  df-lsw 12546  df-concat 12547  df-s1 12548  df-substr 12549  df-splice 12550  df-reverse 12551  df-s2 12824  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-gim 16433  df-oppg 16507  df-symg 16529  df-pmtr 16593  df-psgn 16642  df-cmn 16926  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-rnghom 17490  df-subrg 17553  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zrh 18667
This theorem is referenced by:  m2detleib  19259
  Copyright terms: Public domain W3C validator