Theorem m2detleiblem6 18895

Description: Lemma 6 for m2detleib 18900. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	|- N = { 1 , 2 }
m2detleiblem1.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
m2detleiblem1.y	|- Y = ( ZRHom ` R )
m2detleiblem1.s	|- S = (pmSgn ` N )
m2detleiblem1.o	|- .1. = ( 1r ` R )
m2detleiblem1.i	|- I = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem6	|- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( I ` .1. ) )

Proof of Theorem m2detleiblem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 9587	. . . . 5 |- 1 e. _V
2		2nn 10689	. . . . 5 |- 2 e. NN
3		prex 4689	. . . . . . 7 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. _V
4	3	prid2 4136	. . . . . 6 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } }
5		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
6		m2detleiblem1.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
7		m2detleiblem1.n	. . . . . . 7 |- N = { 1 , 2 }
8	5, 6, 7	symg2bas 16218	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> P = { { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 2 >. } , { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } } )
9	4, 8	syl5eleqr 2562	. . . . 5 |- ( ( 1 e. _V /\ 2 e. NN ) -> { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P )
10	1, 2, 9	mp2an 672	. . . 4 |- { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P
11		eleq1 2539	. . . 4 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( Q e. P <-> { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } e. P ) )
12	10, 11	mpbiri 233	. . 3 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> Q e. P )
13		m2detleiblem1.y	. . . 4 |- Y = ( ZRHom ` R )
14		m2detleiblem1.s	. . . 4 |- S = (pmSgn ` N )
15		m2detleiblem1.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
16	7, 6, 13, 14, 15	m2detleiblem1 18893	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q e. P ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
17	12, 16	sylan2 474	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) )
18		fveq2 5864	. . . . 5 |- ( Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
19	18	adantl 466	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) )
20		eqid 2467	. . . . 5 |- ran (pmTrsp ` N ) = ran (pmTrsp ` N )
21		eqid 2467	. . . . 5 |- (pmSgn ` N ) = (pmSgn ` N )
22	7, 5, 6, 20, 21	psgnprfval2 16344	. . . 4 |- ( (pmSgn ` N ) ` { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) = -u 1
23	19, 22	syl6eq 2524	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( (pmSgn ` N ) ` Q ) = -u 1 )
24	23	oveq1d 6297	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( ( (pmSgn ` N ) ` Q ) (.g ` R ) .1. ) = ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) )
25		rnggrp 16991	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
26		eqid 2467	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
27	26, 15	rngidcl 17006	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
28		eqid 2467	. . . . 5 |- (.g ` R ) = (.g ` R )
29		m2detleiblem1.i	. . . . 5 |- I = ( invg ` R )
30	26, 28, 29	mulgm1 15961	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ .1. e. ( Base ` R ) ) -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
31	25, 27, 30	syl2anc 661	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
32	31	adantr 465	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( -u 1 (.g ` R ) .1. ) = ( I ` .1. ) )
33	17, 24, 32	3eqtrd 2512	1 |- ( ( R e. Ring /\ Q = { <. 1 , 2 >. , <. 2 , 1 >. } ) -> ( Y ` ( S ` Q ) ) = ( I ` .1. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {cpr 4029   <.cop 4033   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   -ucneg 9802   NNcn 10532   2c2 10581   Basecbs 14486   Grpcgrp 15723   invgcminusg 15724  ._gcmg 15727   SymGrpcsymg 16197  pmTrspcpmtr 16262  pmSgncpsgn 16310   1rcur 16943   Ringcrg 16986   ZRHomczrh 18304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-s1 12507  df-substr 12508  df-splice 12509  df-reverse 12510  df-s2 12772  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-oppg 16176  df-symg 16198  df-pmtr 16263  df-psgn 16312  df-cmn 16596  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-rnghom 17148  df-subrg 17210  df-cnfld 18192  df-zring 18257  df-zrh 18308

This theorem is referenced by:  m2detleib  18900