MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem5 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem5 18994
Description: Lemma 5 for m2detleib 19000. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem1.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem1.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
m2detleiblem1.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
m2detleiblem1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  .1.  )

Proof of Theorem m2detleiblem5
StepHypRef Expression
1 1ex 9589 . . . . 5  |-  1  e.  _V
2 2nn 10694 . . . . 5  |-  2  e.  NN
3 prex 4675 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  _V
43prid1 4119 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }
5 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
6 m2detleiblem1.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
7 m2detleiblem1.n . . . . . . 7  |-  N  =  { 1 ,  2 }
85, 6, 7symg2bas 16292 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
94, 8syl5eleqr 2536 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
)
101, 2, 9mp2an 672 . . . 4  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  P
11 eleq1 2513 . . . 4  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q  e.  P  <->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
) )
1210, 11mpbiri 233 . . 3  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  Q  e.  P
)
13 m2detleiblem1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
14 m2detleiblem1.s . . . 4  |-  S  =  (pmSgn `  N )
15 m2detleiblem1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
167, 6, 13, 14, 15m2detleiblem1 18993 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )
1712, 16sylan2 474 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
18 fveq2 5852 . . . . 5  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( (pmSgn `  N ) `  Q
)  =  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ) )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( (pmSgn `  N
) `  Q )  =  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ) )
20 eqid 2441 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
21 eqid 2441 . . . . 5  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
227, 5, 6, 20, 21psgnprfval1 16416 . . . 4  |-  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } )  =  1
2319, 22syl6eq 2498 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( (pmSgn `  N
) `  Q )  =  1 )
2423oveq1d 6292 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  )  =  ( 1 (.g `  R )  .1.  ) )
25 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2625, 15ringidcl 17087 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
2726adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  ->  .1.  e.  ( Base `  R
) )
28 eqid 2441 . . . 4  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
2925, 28mulg1 16018 . . 3  |-  (  .1. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( 1 (.g `  R )  .1.  )  =  .1.  )
3027, 29syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( 1 (.g `  R
)  .1.  )  =  .1.  )
3117, 24, 303eqtrd 2486 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093   {cpr 4012   <.cop 4016   ran crn 4986   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   1c1 9491   NNcn 10537   2c2 10586   Basecbs 14504  .gcmg 15925   SymGrpcsymg 16271  pmTrspcpmtr 16335  pmSgncpsgn 16383   1rcur 17021   Ringcrg 17066   ZRHomczrh 18404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-xor 1363  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-ot 4019  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-word 12516  df-concat 12518  df-s1 12519  df-substr 12520  df-splice 12521  df-reverse 12522  df-s2 12787  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-mulg 15929  df-subg 16067  df-ghm 16134  df-gim 16176  df-oppg 16250  df-symg 16272  df-pmtr 16336  df-psgn 16385  df-cmn 16669  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-rnghom 17232  df-subrg 17295  df-cnfld 18289  df-zring 18357  df-zrh 18408
This theorem is referenced by:  m2detleib  19000
  Copyright terms: Public domain W3C validator