MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem5 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem5 18887
Description: Lemma 5 for m2detleib 18893. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem1.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem1.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
m2detleiblem1.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
m2detleiblem1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  .1.  )

Proof of Theorem m2detleiblem5
StepHypRef Expression
1 1ex 9580 . . . . 5  |-  1  e.  _V
2 2nn 10682 . . . . 5  |-  2  e.  NN
3 prex 4682 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  _V
43prid1 4128 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }
5 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
6 m2detleiblem1.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
7 m2detleiblem1.n . . . . . . 7  |-  N  =  { 1 ,  2 }
85, 6, 7symg2bas 16211 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
94, 8syl5eleqr 2555 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
)
101, 2, 9mp2an 672 . . . 4  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  P
11 eleq1 2532 . . . 4  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q  e.  P  <->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
) )
1210, 11mpbiri 233 . . 3  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  Q  e.  P
)
13 m2detleiblem1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
14 m2detleiblem1.s . . . 4  |-  S  =  (pmSgn `  N )
15 m2detleiblem1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
167, 6, 13, 14, 15m2detleiblem1 18886 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )
1712, 16sylan2 474 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
18 fveq2 5857 . . . . 5  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( (pmSgn `  N ) `  Q
)  =  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ) )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( (pmSgn `  N
) `  Q )  =  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ) )
20 eqid 2460 . . . . 5  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
21 eqid 2460 . . . . 5  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
227, 5, 6, 20, 21psgnprfval1 16336 . . . 4  |-  ( (pmSgn `  N ) `  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } )  =  1
2319, 22syl6eq 2517 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( (pmSgn `  N
) `  Q )  =  1 )
2423oveq1d 6290 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  )  =  ( 1 (.g `  R )  .1.  ) )
25 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2625, 15rngidcl 16999 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
2726adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  ->  .1.  e.  ( Base `  R
) )
28 eqid 2460 . . . 4  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
2925, 28mulg1 15942 . . 3  |-  (  .1. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( 1 (.g `  R )  .1.  )  =  .1.  )
3027, 29syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( 1 (.g `  R
)  .1.  )  =  .1.  )
3117, 24, 303eqtrd 2505 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } )  -> 
( Y `  ( S `  Q )
)  =  .1.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   {cpr 4022   <.cop 4026   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482   NNcn 10525   2c2 10574   Basecbs 14479  .gcmg 15720   SymGrpcsymg 16190  pmTrspcpmtr 16255  pmSgncpsgn 16303   1rcur 16936   Ringcrg 16979   ZRHomczrh 18297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-xor 1356  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-substr 12499  df-splice 12500  df-reverse 12501  df-s2 12763  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-oppg 16169  df-symg 16191  df-pmtr 16256  df-psgn 16305  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-rnghom 17141  df-subrg 17203  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301
This theorem is referenced by:  m2detleib  18893
  Copyright terms: Public domain W3C validator