MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem3 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem3 18553
Description: Lemma 3 for m2detleib 18555. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem2.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
m2detleiblem2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
m2detleiblem2.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
m2detleiblem3.m  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  (
2 M 2 ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    Q, n    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    .x. ( n)    G( n)

Proof of Theorem m2detleiblem3
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2mgpbas 16704 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
4 m2detleiblem3.m . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 fvex 5801 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2535 . . . 4  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  _V )
8 1ex 9484 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
9 2nn 10582 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
10 prex 4634 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  _V
1110prid1 4083 . . . . . . . 8  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }
12 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
13 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
14 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
1512, 13, 14symg2bas 16007 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
1611, 15syl5eleqr 2546 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
)
178, 9, 16mp2an 672 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  P
18 eleq1 2523 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q  e.  P  <->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
) )
1917, 18mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  Q  e.  P
)
20 m2detleiblem2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2114oveq1i 6202 . . . . . . 7  |-  ( N Mat 
R )  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
2220, 21eqtri 2480 . . . . . 6  |-  A  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
23 m2detleiblem2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
2414fveq2i 5794 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  { 1 ,  2 } )
2524fveq2i 5794 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  { 1 ,  2 } ) )
2613, 25eqtri 2480 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { 1 ,  2 } ) )
2722, 23, 26matepmcl 18460 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
2819, 27syl3an2 1253 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
29 mpteq1 4472 . . . . . 6  |-  ( N  =  { 1 ,  2 }  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) )  =  ( n  e.  { 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )
3014, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
3130fmpt 5965 . . . 4  |-  ( A. n  e.  { 1 ,  2 }  (
( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R
) )
3228, 31sylib 196 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R ) )
333, 4, 7, 32gsumpr12val 15619 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `
 1 )  .x.  ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 ) ) )
348prid1 4083 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  2 }
3534, 14eleqtrri 2538 . . . . 5  |-  1  e.  N
3620, 23, 13matepmcl 18460 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
3719, 36syl3an2 1253 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
38 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
1 ) )
39 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4038, 39oveq12d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 1 ) M 1 ) )
4140eleq1d 2520 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R
) ) )
4241rspcva 3169 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
4335, 37, 42sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
44 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
4540, 44fvmptg 5873 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  N  /\  ( ( Q ` 
1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  =  ( ( Q `  1
) M 1 ) )
4635, 43, 45sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( ( Q `  1 ) M 1 ) )
47 fveq1 5790 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
) )
48 1ne2 10637 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
498, 8fvpr1 6022 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
)  =  1 )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
)  =  1
5147, 50syl6eq 2508 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  1 )
52513ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  1 )  =  1 )
5352oveq1d 6207 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  =  ( 1 M 1 ) )
5446, 53eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( 1 M 1 ) )
55 2ex 10496 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
5655prid2 4084 . . . . . 6  |-  2  e.  { 1 ,  2 }
5756, 14eleqtrri 2538 . . . . 5  |-  2  e.  N
58 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
2 ) )
59 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  n  =  2 )
6058, 59oveq12d 6210 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  2  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 2 ) M 2 ) )
6160eleq1d 2520 . . . . . . 7  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R
) ) )
6261rspcva 3169 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6357, 37, 62sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6460, 44fvmptg 5873 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  N  /\  ( ( Q ` 
2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 )  =  ( ( Q `  2
) M 2 ) )
6557, 63, 64sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( ( Q `  2 ) M 2 ) )
66 fveq1 5790 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
) )
6755, 55fvpr2 6023 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
)  =  2 )
6848, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
)  =  2
6966, 68syl6eq 2508 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  2 )
70693ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  2 )  =  2 )
7170oveq1d 6207 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  =  ( 2 M 2 ) )
7265, 71eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( 2 M 2 ) )
7354, 72oveq12d 6210 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  .x.  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  ( 2 M 2 ) ) )
7433, 73eqtrd 2492 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  (
2 M 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3070   {cpr 3979   <.cop 3983    |-> cmpt 4450   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1c1 9386   NNcn 10425   2c2 10474   Basecbs 14278   +g cplusg 14342    gsumg cgsu 14483   SymGrpcsymg 15986  mulGrpcmgp 16698   Ringcrg 16753   Mat cmat 18391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-seq 11910  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-prds 14490  df-pws 14492  df-symg 15987  df-mgp 16699  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-dsmm 18268  df-frlm 18283  df-mat 18393
This theorem is referenced by:  m2detleib  18555
  Copyright terms: Public domain W3C validator