MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem3 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem3 19239
Description: Lemma 3 for m2detleib 19241. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem2.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
m2detleiblem2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
m2detleiblem2.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
m2detleiblem3.m  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  (
2 M 2 ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    Q, n    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    .x. ( n)    G( n)

Proof of Theorem m2detleiblem3
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2396 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2mgpbas 17283 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
4 m2detleiblem3.m . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 fvex 5801 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2480 . . . 4  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  _V )
8 1ex 9524 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
9 2nn 10632 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
10 prex 4621 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  _V
1110prid1 4069 . . . . . . . 8  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }
12 eqid 2396 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
13 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
14 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
1512, 13, 14symg2bas 16563 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
1611, 15syl5eleqr 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
)
178, 9, 16mp2an 670 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  P
18 eleq1 2468 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q  e.  P  <->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
) )
1917, 18mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  Q  e.  P
)
20 m2detleiblem2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2114oveq1i 6228 . . . . . . 7  |-  ( N Mat 
R )  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
2220, 21eqtri 2425 . . . . . 6  |-  A  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
23 m2detleiblem2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
2414fveq2i 5794 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  { 1 ,  2 } )
2524fveq2i 5794 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  { 1 ,  2 } ) )
2613, 25eqtri 2425 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { 1 ,  2 } ) )
2722, 23, 26matepmcl 19072 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
2819, 27syl3an2 1260 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
29 mpteq1 4464 . . . . . 6  |-  ( N  =  { 1 ,  2 }  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) )  =  ( n  e.  { 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )
3014, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
3130fmpt 5971 . . . 4  |-  ( A. n  e.  { 1 ,  2 }  (
( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R
) )
3228, 31sylib 196 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R ) )
333, 4, 7, 32gsumpr12val 16049 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `
 1 )  .x.  ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 ) ) )
348prid1 4069 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  2 }
3534, 14eleqtrri 2483 . . . . 5  |-  1  e.  N
3620, 23, 13matepmcl 19072 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
3719, 36syl3an2 1260 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
38 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
1 ) )
39 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4038, 39oveq12d 6236 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 1 ) M 1 ) )
4140eleq1d 2465 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R
) ) )
4241rspcva 3150 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
4335, 37, 42sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
44 eqid 2396 . . . . . 6  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
4540, 44fvmptg 5872 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  N  /\  ( ( Q ` 
1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  =  ( ( Q `  1
) M 1 ) )
4635, 43, 45sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( ( Q `  1 ) M 1 ) )
47 fveq1 5790 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
) )
48 1ne2 10687 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
498, 8fvpr1 6034 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
)  =  1 )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
)  =  1
5147, 50syl6eq 2453 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  1 )
52513ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  1 )  =  1 )
5352oveq1d 6233 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  =  ( 1 M 1 ) )
5446, 53eqtrd 2437 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( 1 M 1 ) )
55 2ex 10546 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
5655prid2 4070 . . . . . 6  |-  2  e.  { 1 ,  2 }
5756, 14eleqtrri 2483 . . . . 5  |-  2  e.  N
58 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
2 ) )
59 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  n  =  2 )
6058, 59oveq12d 6236 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  2  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 2 ) M 2 ) )
6160eleq1d 2465 . . . . . . 7  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R
) ) )
6261rspcva 3150 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6357, 37, 62sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6460, 44fvmptg 5872 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  N  /\  ( ( Q ` 
2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 )  =  ( ( Q `  2
) M 2 ) )
6557, 63, 64sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( ( Q `  2 ) M 2 ) )
66 fveq1 5790 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
) )
6755, 55fvpr2 6035 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
)  =  2 )
6848, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
)  =  2
6966, 68syl6eq 2453 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  2 )
70693ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  2 )  =  2 )
7170oveq1d 6233 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  =  ( 2 M 2 ) )
7265, 71eqtrd 2437 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( 2 M 2 ) )
7354, 72oveq12d 6236 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  .x.  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  ( 2 M 2 ) ) )
7433, 73eqtrd 2437 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  (
2 M 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   A.wral 2746   _Vcvv 3051   {cpr 3963   <.cop 3967    |-> cmpt 4442   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   1c1 9426   NNcn 10474   2c2 10524   Basecbs 14657   +g cplusg 14725    gsumg cgsu 14871   SymGrpcsymg 16542  mulGrpcmgp 17277   Ringcrg 17334   Mat cmat 19017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-sup 7838  df-card 8255  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-fz 11616  df-seq 12034  df-fac 12279  df-bc 12306  df-hash 12331  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-hom 14749  df-cco 14750  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-prds 14878  df-pws 14880  df-symg 16543  df-mgp 17278  df-sra 17954  df-rgmod 17955  df-dsmm 18877  df-frlm 18892  df-mat 19018
This theorem is referenced by:  m2detleib  19241
  Copyright terms: Public domain W3C validator