MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem3 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem3 18898
Description: Lemma 3 for m2detleib 18900. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem2.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
m2detleiblem2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
m2detleiblem2.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
m2detleiblem3.m  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  (
2 M 2 ) ) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    Q, n    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    .x. ( n)    G( n)

Proof of Theorem m2detleiblem3
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2mgpbas 16937 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
4 m2detleiblem3.m . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 fvex 5874 . . . . 5  |-  (mulGrp `  R )  e.  _V
61, 5eqeltri 2551 . . . 4  |-  G  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  _V )
8 1ex 9587 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
9 2nn 10689 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
10 prex 4689 . . . . . . . . 9  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  _V
1110prid1 4135 . . . . . . . 8  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
13 m2detleiblem2.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
14 m2detleiblem2.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
1512, 13, 14symg2bas 16218 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
1611, 15syl5eleqr 2562 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
)
178, 9, 16mp2an 672 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  P
18 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q  e.  P  <->  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  P
) )
1917, 18mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  Q  e.  P
)
20 m2detleiblem2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2114oveq1i 6292 . . . . . . 7  |-  ( N Mat 
R )  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
2220, 21eqtri 2496 . . . . . 6  |-  A  =  ( { 1 ,  2 } Mat  R )
23 m2detleiblem2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
2414fveq2i 5867 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  { 1 ,  2 } )
2524fveq2i 5867 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  { 1 ,  2 } ) )
2613, 25eqtri 2496 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { 1 ,  2 } ) )
2722, 23, 26matepmcl 18731 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
2819, 27syl3an2 1262 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  { 1 ,  2 }  ( ( Q `
 n ) M n )  e.  (
Base `  R )
)
29 mpteq1 4527 . . . . . 6  |-  ( N  =  { 1 ,  2 }  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) )  =  ( n  e.  { 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )
3014, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e. 
{ 1 ,  2 }  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
3130fmpt 6040 . . . 4  |-  ( A. n  e.  { 1 ,  2 }  (
( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R
) )
3228, 31sylib 196 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
n  e.  N  |->  ( ( Q `  n
) M n ) ) : { 1 ,  2 } --> ( Base `  R ) )
333, 4, 7, 32gsumpr12val 15828 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `
 1 )  .x.  ( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 ) ) )
348prid1 4135 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  2 }
3534, 14eleqtrri 2554 . . . . 5  |-  1  e.  N
3620, 23, 13matepmcl 18731 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
3719, 36syl3an2 1262 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
38 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
1 ) )
39 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4038, 39oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 1 ) M 1 ) )
4140eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R
) ) )
4241rspcva 3212 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
4335, 37, 42sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  e.  ( Base `  R
) )
44 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) )  =  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) )
4540, 44fvmptg 5946 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  N  /\  ( ( Q ` 
1 ) M 1 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  =  ( ( Q `  1
) M 1 ) )
4635, 43, 45sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( ( Q `  1 ) M 1 ) )
47 fveq1 5863 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
) )
48 1ne2 10744 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
498, 8fvpr1 6102 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
)  =  1 )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
)  =  1
5147, 50syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
1 )  =  1 )
52513ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  1 )  =  1 )
5352oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  1
) M 1 )  =  ( 1 M 1 ) )
5446, 53eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  1
)  =  ( 1 M 1 ) )
55 2ex 10603 . . . . . . 7  |-  2  e.  _V
5655prid2 4136 . . . . . 6  |-  2  e.  { 1 ,  2 }
5756, 14eleqtrri 2554 . . . . 5  |-  2  e.  N
58 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  ( Q `  n )  =  ( Q ` 
2 ) )
59 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  2  ->  n  =  2 )
6058, 59oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  2  ->  (
( Q `  n
) M n )  =  ( ( Q `
 2 ) M 2 ) )
6160eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R )  <->  ( ( Q `  2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R
) ) )
6261rspcva 3212 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  N  /\  A. n  e.  N  ( ( Q `  n
) M n )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6357, 37, 62sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  e.  ( Base `  R
) )
6460, 44fvmptg 5946 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  N  /\  ( ( Q ` 
2 ) M 2 )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
2 )  =  ( ( Q `  2
) M 2 ) )
6557, 63, 64sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( ( Q `  2 ) M 2 ) )
66 fveq1 5863 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
) )
6755, 55fvpr2 6103 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
)  =  2 )
6848, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
)  =  2
6966, 68syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( Q ` 
2 )  =  2 )
70693ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( Q `  2 )  =  2 )
7170oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( Q `  2
) M 2 )  =  ( 2 M 2 ) )
7265, 71eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
)  =  ( 2 M 2 ) )
7354, 72oveq12d 6300 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  (
( ( n  e.  N  |->  ( ( Q `
 n ) M n ) ) ` 
1 )  .x.  (
( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) `  2
) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  ( 2 M 2 ) ) )
7433, 73eqtrd 2508 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  =  { <. 1 ,  1
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  =  ( ( 1 M 1 )  .x.  (
2 M 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   {cpr 4029   <.cop 4033    |-> cmpt 4505   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   NNcn 10532   2c2 10581   Basecbs 14486   +g cplusg 14551    gsumg cgsu 14692   SymGrpcsymg 16197  mulGrpcmgp 16931   Ringcrg 16986   Mat cmat 18676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-symg 16198  df-mgp 16932  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mat 18677
This theorem is referenced by:  m2detleib  18900
  Copyright terms: Public domain W3C validator