MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem2 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem2 18892
Description: Lemma 2 for m2detleib 18895. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem2.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
m2detleiblem2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
m2detleiblem2.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
Distinct variable groups:    B, n    n, M    n, N    P, n    Q, n    R, n
Allowed substitution hints:    A( n)    G( n)

Proof of Theorem m2detleiblem2
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . 3  |-  G  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2462 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2mgpbas 16932 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  G )
41rngmgp 16987 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  G  e. 
Mnd )
543ad2ant1 1012 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  G  e.  Mnd )
6 2eluzge1 11118 . . 3  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
76a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8 1z 10885 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
9 fzpr 11726 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
11 1p1e2 10640 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1211preq2i 4105 . . . . 5  |-  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }  =  { 1 ,  2 }
1310, 12eqtri 2491 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  2 }
14 df-2 10585 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1514oveq2i 6288 . . . 4  |-  ( 1 ... 2 )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
16 m2detleiblem2.n . . . 4  |-  N  =  { 1 ,  2 }
1713, 15, 163eqtr4ri 2502 . . 3  |-  N  =  ( 1 ... 2
)
1817a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  N  =  ( 1 ... 2 ) )
19 m2detleiblem2.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
20 m2detleiblem2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
21 m2detleiblem2.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
2219, 20, 21matepmcl 18726 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  A. n  e.  N  ( ( Q `  n ) M n )  e.  ( Base `  R
) )
233, 5, 7, 18, 22gsummptfzcl 16782 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P  /\  M  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( ( Q `  n ) M n ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cpr 4024    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   1c1 9484    + caddc 9486   2c2 10576   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   ...cfz 11663   Basecbs 14481    gsumg cgsu 14687   Mndcmnd 15717   SymGrpcsymg 16192  mulGrpcmgp 16926   Ringcrg 16981   Mat cmat 18671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-seq 12066  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-hom 14570  df-cco 14571  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-prds 14694  df-pws 14696  df-mnd 15723  df-symg 16193  df-mgp 16927  df-rng 16983  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-dsmm 18525  df-frlm 18540  df-mat 18672
This theorem is referenced by:  m2detleib  18895
  Copyright terms: Public domain W3C validator