MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem1 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem1 18886
Description: Lemma 1 for m2detleib 18893. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem1.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem1.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
m2detleiblem1.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
m2detleiblem1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )

Proof of Theorem m2detleiblem1
StepHypRef Expression
1 elpri 4040 . . . . 5  |-  ( Q  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  \/  Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
2 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  =  ( S `  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ) )
3 m2detleiblem1.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
4 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
5 m2detleiblem1.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
6 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
7 m2detleiblem1.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (pmSgn `  N )
83, 4, 5, 6, 7psgnprfval1 16336 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } )  =  1
92, 8syl6eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  =  1 )
10 1z 10883 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
119, 10syl6eqel 2556 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
12 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  =  ( S `  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } ) )
133, 4, 5, 6, 7psgnprfval2 16337 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )  =  -u 1
1412, 13syl6eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  =  -u
1 )
15 1nn 10536 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
16 nnnegz 10856 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  -u 1  e.  ZZ )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  ZZ
1814, 17syl6eqel 2556 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
1911, 18jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( S `  Q
)  e.  ZZ )
201, 19syl 16 . . . 4  |-  ( Q  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
21 1ex 9580 . . . . 5  |-  1  e.  _V
22 2nn 10682 . . . . 5  |-  2  e.  NN
234, 5, 3symg2bas 16211 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
2421, 22, 23mp2an 672 . . . 4  |-  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } ,  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
2520, 24eleq2s 2568 . . 3  |-  ( Q  e.  P  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
26 m2detleiblem1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
27 eqid 2460 . . . 4  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
28 m2detleiblem1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2926, 27, 28zrhmulg 18307 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( S `  Q )  e.  ZZ )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( S `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
3025, 29sylan2 474 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( S `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
317a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  S  =  (pmSgn `  N )
)
3231fveq1d 5859 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q )  =  ( (pmSgn `  N ) `  Q
) )
3332oveq1d 6290 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  (
( S `  Q
) (.g `  R )  .1.  )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
3430, 33eqtrd 2501 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   {cpr 4022   <.cop 4026   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482   -ucneg 9795   NNcn 10525   2c2 10574   ZZcz 10853   Basecbs 14479  .gcmg 15720   SymGrpcsymg 16190  pmTrspcpmtr 16255  pmSgncpsgn 16303   1rcur 16936   Ringcrg 16979   ZRHomczrh 18297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-xor 1356  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-substr 12499  df-splice 12500  df-reverse 12501  df-s2 12763  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-gim 16095  df-oppg 16169  df-symg 16191  df-pmtr 16256  df-psgn 16305  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-rnghom 17141  df-subrg 17203  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301
This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  18887  m2detleiblem6  18888
  Copyright terms: Public domain W3C validator