MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem1 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem1 18548
Description: Lemma 1 for m2detleib 18555. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem1.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem1.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
m2detleiblem1.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
m2detleiblem1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )

Proof of Theorem m2detleiblem1
StepHypRef Expression
1 elpri 3997 . . . . 5  |-  ( Q  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  \/  Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
2 fveq2 5791 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  =  ( S `  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ) )
3 m2detleiblem1.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
4 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
5 m2detleiblem1.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
6 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
7 m2detleiblem1.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (pmSgn `  N )
83, 4, 5, 6, 7psgnprfval1 16132 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } )  =  1
92, 8syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  =  1 )
10 1z 10779 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
119, 10syl6eqel 2547 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
12 fveq2 5791 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  =  ( S `  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } ) )
133, 4, 5, 6, 7psgnprfval2 16133 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )  =  -u 1
1412, 13syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  =  -u
1 )
15 1nn 10436 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
16 nnnegz 10752 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  -u 1  e.  ZZ )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  ZZ
1814, 17syl6eqel 2547 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
1911, 18jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( S `  Q
)  e.  ZZ )
201, 19syl 16 . . . 4  |-  ( Q  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
21 1ex 9484 . . . . 5  |-  1  e.  _V
22 2nn 10582 . . . . 5  |-  2  e.  NN
234, 5, 3symg2bas 16007 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
2421, 22, 23mp2an 672 . . . 4  |-  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } ,  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
2520, 24eleq2s 2559 . . 3  |-  ( Q  e.  P  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
26 m2detleiblem1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
27 eqid 2451 . . . 4  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
28 m2detleiblem1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2926, 27, 28zrhmulg 18052 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( S `  Q )  e.  ZZ )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( S `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
3025, 29sylan2 474 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( S `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
317a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  S  =  (pmSgn `  N )
)
3231fveq1d 5793 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q )  =  ( (pmSgn `  N ) `  Q
) )
3332oveq1d 6207 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  (
( S `  Q
) (.g `  R )  .1.  )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
3430, 33eqtrd 2492 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   {cpr 3979   <.cop 3983   ran crn 4941   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1c1 9386   -ucneg 9699   NNcn 10425   2c2 10474   ZZcz 10749   Basecbs 14278  .gcmg 15518   SymGrpcsymg 15986  pmTrspcpmtr 16051  pmSgncpsgn 16099   1rcur 16710   Ringcrg 16753   ZRHomczrh 18042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-word 12333  df-concat 12335  df-s1 12336  df-substr 12337  df-splice 12338  df-reverse 12339  df-s2 12579  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-gim 15891  df-oppg 15965  df-symg 15987  df-pmtr 16052  df-psgn 16101  df-cmn 16385  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-rnghom 16914  df-subrg 16971  df-cnfld 17930  df-zring 17995  df-zrh 18046
This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  18549  m2detleiblem6  18550
  Copyright terms: Public domain W3C validator