MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem m2detleiblem1 19726
Description: Lemma 1 for m2detleib 19733. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem1.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem1.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
m2detleiblem1.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
m2detleiblem1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )

Proof of Theorem m2detleiblem1
StepHypRef Expression
1 elpri 3976 . . . . 5  |-  ( Q  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  \/  Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
2 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  =  ( S `  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ) )
3 m2detleiblem1.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
4 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
5 m2detleiblem1.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
6 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
7 m2detleiblem1.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (pmSgn `  N )
83, 4, 5, 6, 7psgnprfval1 17241 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } )  =  1
92, 8syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  =  1 )
10 1z 10991 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
119, 10syl6eqel 2557 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
12 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  =  ( S `  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } ) )
133, 4, 5, 6, 7psgnprfval2 17242 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )  =  -u 1
1412, 13syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  =  -u
1 )
15 neg1z 10997 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  ZZ
1614, 15syl6eqel 2557 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
1711, 16jaoi 386 . . . . 5  |-  ( ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( S `  Q
)  e.  ZZ )
181, 17syl 17 . . . 4  |-  ( Q  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
19 1ex 9656 . . . . 5  |-  1  e.  _V
20 2nn 10790 . . . . 5  |-  2  e.  NN
214, 5, 3symg2bas 17117 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
2219, 20, 21mp2an 686 . . . 4  |-  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } ,  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
2318, 22eleq2s 2567 . . 3  |-  ( Q  e.  P  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
24 m2detleiblem1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
25 eqid 2471 . . . 4  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
26 m2detleiblem1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2724, 25, 26zrhmulg 19158 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( S `  Q )  e.  ZZ )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( S `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
2823, 27sylan2 482 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( S `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
297a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  S  =  (pmSgn `  N )
)
3029fveq1d 5881 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q )  =  ( (pmSgn `  N ) `  Q
) )
3130oveq1d 6323 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  (
( S `  Q
) (.g `  R )  .1.  )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
3228, 31eqtrd 2505 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   {cpr 3961   <.cop 3965   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   -ucneg 9881   NNcn 10631   2c2 10681   ZZcz 10961   Basecbs 15199  .gcmg 16750   SymGrpcsymg 17096  pmTrspcpmtr 17160  pmSgncpsgn 17208   1rcur 17813   Ringcrg 17858   ZRHomczrh 19148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152
This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  19727  m2detleiblem6  19728
  Copyright terms: Public domain W3C validator