MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem1 Structured version   Unicode version

Theorem m2detleiblem1 19418
Description: Lemma 1 for m2detleib 19425. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n  |-  N  =  { 1 ,  2 }
m2detleiblem1.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
m2detleiblem1.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
m2detleiblem1.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
m2detleiblem1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )

Proof of Theorem m2detleiblem1
StepHypRef Expression
1 elpri 3992 . . . . 5  |-  ( Q  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  \/  Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1
>. } ) )
2 fveq2 5849 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  =  ( S `  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ) )
3 m2detleiblem1.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  { 1 ,  2 }
4 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
5 m2detleiblem1.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
6 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ran  (pmTrsp `  N )  =  ran  (pmTrsp `  N )
7 m2detleiblem1.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (pmSgn `  N )
83, 4, 5, 6, 7psgnprfval1 16871 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } )  =  1
92, 8syl6eq 2459 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  =  1 )
10 1z 10935 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
119, 10syl6eqel 2498 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
12 fveq2 5849 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  =  ( S `  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } ) )
133, 4, 5, 6, 7psgnprfval2 16872 . . . . . . . 8  |-  ( S `
 { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } )  =  -u 1
1412, 13syl6eq 2459 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  =  -u
1 )
15 neg1z 10941 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  ZZ
1614, 15syl6eqel 2498 . . . . . 6  |-  ( Q  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
1711, 16jaoi 377 . . . . 5  |-  ( ( Q  =  { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  \/  Q  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  1 >. } )  -> 
( S `  Q
)  e.  ZZ )
181, 17syl 17 . . . 4  |-  ( Q  e.  { { <. 1 ,  1 >. , 
<. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } }  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
19 1ex 9621 . . . . 5  |-  1  e.  _V
20 2nn 10734 . . . . 5  |-  2  e.  NN
214, 5, 3symg2bas 16747 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  2  e.  NN )  ->  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2
>. } ,  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  1
>. } } )
2219, 20, 21mp2an 670 . . . 4  |-  P  =  { { <. 1 ,  1 >. ,  <. 2 ,  2 >. } ,  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  1 >. } }
2318, 22eleq2s 2510 . . 3  |-  ( Q  e.  P  ->  ( S `  Q )  e.  ZZ )
24 m2detleiblem1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
25 eqid 2402 . . . 4  |-  (.g `  R
)  =  (.g `  R
)
26 m2detleiblem1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2724, 25, 26zrhmulg 18847 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( S `  Q )  e.  ZZ )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( S `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
2823, 27sylan2 472 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( S `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
297a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  S  =  (pmSgn `  N )
)
3029fveq1d 5851 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( S `  Q )  =  ( (pmSgn `  N ) `  Q
) )
3130oveq1d 6293 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  (
( S `  Q
) (.g `  R )  .1.  )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q ) (.g `  R
)  .1.  ) )
3228, 31eqtrd 2443 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Q  e.  P )  ->  ( Y `  ( S `  Q ) )  =  ( ( (pmSgn `  N ) `  Q
) (.g `  R )  .1.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   {cpr 3974   <.cop 3978   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1c1 9523   -ucneg 9842   NNcn 10576   2c2 10626   ZZcz 10905   Basecbs 14841  .gcmg 16380   SymGrpcsymg 16726  pmTrspcpmtr 16790  pmSgncpsgn 16838   1rcur 17473   Ringcrg 17518   ZRHomczrh 18837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-word 12591  df-lsw 12592  df-concat 12593  df-s1 12594  df-substr 12595  df-splice 12596  df-reverse 12597  df-s2 12869  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-gim 16631  df-oppg 16705  df-symg 16727  df-pmtr 16791  df-psgn 16840  df-cmn 17124  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-rnghom 17684  df-subrg 17747  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-zrh 18841
This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  19419  m2detleiblem6  19420
  Copyright terms: Public domain W3C validator