Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleib Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem m2detleib 19733
 Description: Leibniz' Formula for 2x2-matrices. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleib.n
m2detleib.a Mat
m2detleib.b
m2detleib.m
m2detleib.t
Assertion
Ref Expression
m2detleib

Proof of Theorem m2detleib
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 m2detleib.d . . . 4 maDet
2 m2detleib.a . . . 4 Mat
3 m2detleib.b . . . 4
4 eqid 2471 . . . 4
5 eqid 2471 . . . 4 RHom RHom
6 eqid 2471 . . . 4 pmSgn pmSgn
7 m2detleib.t . . . 4
8 eqid 2471 . . . 4 mulGrp mulGrp
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetleib1 19693 . . 3 g RHompmSgn mulGrp g
109adantl 473 . 2 g RHompmSgn mulGrp g
11 eqid 2471 . . 3
12 eqid 2471 . . 3
13 ringcmn 17889 . . . 4 CMnd
1413adantr 472 . . 3 CMnd
15 m2detleib.n . . . . . 6
16 prfi 7864 . . . . . 6
1715, 16eqeltri 2545 . . . . 5
18 eqid 2471 . . . . . 6
1918, 4symgbasfi 17105 . . . . 5
2017, 19ax-mp 5 . . . 4
2120a1i 11 . . 3
22 simpl 464 . . . . 5
2322adantr 472 . . . 4
244, 6, 5zrhpsgnelbas 19239 . . . . . 6 RHompmSgn
2517, 24mp3an2 1378 . . . . 5 RHompmSgn
2625adantlr 729 . . . 4 RHompmSgn
27 simpr 468 . . . . 5
28 simpr 468 . . . . . 6
2928adantr 472 . . . . 5
3015, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 19730 . . . . 5 mulGrp g
3123, 27, 29, 30syl3anc 1292 . . . 4 mulGrp g
3211, 7ringcl 17872 . . . 4 RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
3323, 26, 31, 32syl3anc 1292 . . 3 RHompmSgn mulGrp g
34 opex 4664 . . . . . . . 8
35 opex 4664 . . . . . . . 8
3634, 35pm3.2i 462 . . . . . . 7
37 opex 4664 . . . . . . . 8
38 opex 4664 . . . . . . . 8
3937, 38pm3.2i 462 . . . . . . 7
4036, 39pm3.2i 462 . . . . . 6
41 1ne2 10845 . . . . . . . . . 10
4241olci 398 . . . . . . . . 9
43 1ex 9656 . . . . . . . . . 10
4443, 43opthne 4682 . . . . . . . . 9
4542, 44mpbir 214 . . . . . . . 8
4641orci 397 . . . . . . . . 9
4743, 43opthne 4682 . . . . . . . . 9
4846, 47mpbir 214 . . . . . . . 8
4945, 48pm3.2i 462 . . . . . . 7
5049orci 397 . . . . . 6
5140, 50pm3.2i 462 . . . . 5
5251a1i 11 . . . 4
53 prneimg 4148 . . . . 5
5453imp 436 . . . 4
55 disjsn2 4024 . . . 4
5652, 54, 553syl 18 . . 3
57 2nn 10790 . . . . . 6
5818, 4, 15symg2bas 17117 . . . . . 6
5943, 57, 58mp2an 686 . . . . 5
60 df-pr 3962 . . . . 5
6159, 60eqtri 2493 . . . 4
6261a1i 11 . . 3
6311, 12, 14, 21, 33, 56, 62gsummptfidmsplit 17641 . 2 g RHompmSgn mulGrp g g RHompmSgn mulGrp g g RHompmSgn mulGrp g
64 ringmnd 17867 . . . . . 6
6564adantr 472 . . . . 5
66 prex 4642 . . . . . 6
6766a1i 11 . . . . 5
6866prid1 4071 . . . . . . . . 9
6968, 59eleqtrri 2548 . . . . . . . 8
7069a1i 11 . . . . . . 7
714, 6, 5zrhpsgnelbas 19239 . . . . . . . 8 RHompmSgn
7217, 71mp3an2 1378 . . . . . . 7 RHompmSgn
7370, 72sylan2 482 . . . . . 6 RHompmSgn
7415, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 19730 . . . . . . 7 mulGrp g
7569, 74mp3an2 1378 . . . . . 6 mulGrp g
7611, 7ringcl 17872 . . . . . 6 RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
7722, 73, 75, 76syl3anc 1292 . . . . 5 RHompmSgn mulGrp g
78 fveq2 5879 . . . . . . . 8 pmSgn pmSgn
7978fveq2d 5883 . . . . . . 7 RHompmSgn RHompmSgn
80 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10
8180oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
8281mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8
8382oveq2d 6324 . . . . . . 7 mulGrp g mulGrp g
8479, 83oveq12d 6326 . . . . . 6 RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
8511, 84gsumsn 17665 . . . . 5 RHompmSgn mulGrp g g RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
8665, 67, 77, 85syl3anc 1292 . . . 4 g RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
87 prex 4642 . . . . . 6
8887a1i 11 . . . . 5
8987prid2 4072 . . . . . . . . 9
9089, 59eleqtrri 2548 . . . . . . . 8
9190a1i 11 . . . . . . 7
924, 6, 5zrhpsgnelbas 19239 . . . . . . . 8 RHompmSgn
9317, 92mp3an2 1378 . . . . . . 7 RHompmSgn
9491, 93sylan2 482 . . . . . 6 RHompmSgn
9515, 4, 2, 3, 8m2detleiblem2 19730 . . . . . . 7 mulGrp g
9690, 95mp3an2 1378 . . . . . 6 mulGrp g
9711, 7ringcl 17872 . . . . . 6 RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
9822, 94, 96, 97syl3anc 1292 . . . . 5 RHompmSgn mulGrp g
99 fveq2 5879 . . . . . . . 8 pmSgn pmSgn
10099fveq2d 5883 . . . . . . 7 RHompmSgn RHompmSgn
101 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10
102101oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
103102mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8
104103oveq2d 6324 . . . . . . 7 mulGrp g mulGrp g
105100, 104oveq12d 6326 . . . . . 6 RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
10611, 105gsumsn 17665 . . . . 5 RHompmSgn mulGrp g g RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
10765, 88, 98, 106syl3anc 1292 . . . 4 g RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
10886, 107oveq12d 6326 . . 3 g RHompmSgn mulGrp g g RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
109 eqidd 2472 . . . . . . 7
110 eqid 2471 . . . . . . . 8
11115, 4, 5, 6, 110m2detleiblem5 19727 . . . . . . 7 RHompmSgn
112109, 111sylan2 482 . . . . . 6 RHompmSgn
113 eqidd 2472 . . . . . . 7
1148, 7mgpplusg 17805 . . . . . . . 8 mulGrp
11515, 4, 2, 3, 8, 114m2detleiblem3 19731 . . . . . . 7 mulGrp g
11622, 113, 28, 115syl3anc 1292 . . . . . 6 mulGrp g
117112, 116oveq12d 6326 . . . . 5 RHompmSgn mulGrp g
11843prid1 4071 . . . . . . . . . 10
119118, 15eleqtrri 2548 . . . . . . . . 9
120119a1i 11 . . . . . . . 8
1213eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10
122121biimpi 199 . . . . . . . . 9
123122adantl 473 . . . . . . . 8
1242, 11matecl 19527 . . . . . . . 8
125120, 120, 123, 124syl3anc 1292 . . . . . . 7
126 prid2g 4070 . . . . . . . . . . 11
12757, 126ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
128127, 15eleqtrri 2548 . . . . . . . . 9
129128a1i 11 . . . . . . . 8
1302, 11matecl 19527 . . . . . . . 8
131129, 129, 123, 130syl3anc 1292 . . . . . . 7
13211, 7ringcl 17872 . . . . . . 7
13322, 125, 131, 132syl3anc 1292 . . . . . 6
13411, 7, 110ringlidm 17882 . . . . . 6
135133, 134syldan 478 . . . . 5
136117, 135eqtrd 2505 . . . 4 RHompmSgn mulGrp g
137 eqidd 2472 . . . . . 6
138 eqid 2471 . . . . . . 7
13915, 4, 5, 6, 110, 138m2detleiblem6 19728 . . . . . 6 RHompmSgn
140137, 139sylan2 482 . . . . 5 RHompmSgn
141 eqidd 2472 . . . . . 6
14215, 4, 2, 3, 8, 114m2detleiblem4 19732 . . . . . 6 mulGrp g
14322, 141, 28, 142syl3anc 1292 . . . . 5 mulGrp g
144140, 143oveq12d 6326 . . . 4 RHompmSgn mulGrp g
145136, 144oveq12d 6326 . . 3 RHompmSgn mulGrp g RHompmSgn mulGrp g
1462, 11matecl 19527 . . . . . 6
147129, 120, 123, 146syl3anc 1292 . . . . 5
1482, 11matecl 19527 . . . . . 6
149120, 129, 123, 148syl3anc 1292 . . . . 5
15011, 7ringcl 17872 . . . . 5
15122, 147, 149, 150syl3anc 1292 . . . 4
152 m2detleib.m . . . . 5
15315, 4, 5, 6, 110, 138, 7, 152m2detleiblem7 19729 . . . 4
15422, 133, 151, 153syl3anc 1292 . . 3
155108, 145, 1543eqtrd 2509 . 2 g RHompmSgn mulGrp g g RHompmSgn mulGrp g
15610, 63, 1553eqtrd 2509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   cun 3388   cin 3389  c0 3722  csn 3959  cpr 3961  cop 3965   cmpt 4454  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  c1 9558  cn 10631  c2 10681  cbs 15199   cplusg 15268  cmulr 15269   g cgsu 15417  cmnd 16613  cminusg 16748  csg 16749  csymg 17096  pmSgncpsgn 17208  CMndccmn 17508  mulGrpcmgp 17801  cur 17813  crg 17858  RHomczrh 19148   Mat cmat 19509   maDet cmdat 19686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-concat 12713  df-s1 12714  df-substr 12715  df-splice 12716  df-reverse 12717  df-s2 13003  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-symg 17097  df-pmtr 17161  df-psgn 17210  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-zrh 19152  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mat 19510  df-mdet 19687 This theorem is referenced by:  lmat22det  28722
 Copyright terms: Public domain W3C validator