MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1r Structured version   Unicode version

Theorem m1r 9336
Description: The constant  -1R is a signed real. (Contributed by NM, 9-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
m1r  |-  -1R  e.  R.

Proof of Theorem m1r
StepHypRef Expression
1 1pr 9271 . . . 4  |-  1P  e.  P.
2 addclpr 9274 . . . . 5  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
31, 1, 2mp2an 672 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
4 opelxpi 4955 . . . 4  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  1P )  e.  P. )  ->  <. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >.  e.  ( P.  X.  P. )
)
51, 3, 4mp2an 672 . . 3  |-  <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >.  e.  ( P. 
X.  P. )
6 enrex 9324 . . . 4  |-  ~R  e.  _V
76ecelqsi 7242 . . 3  |-  ( <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P ) >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
85, 7ax-mp 5 . 2  |-  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
9 df-m1r 9320 . 2  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
10 df-nr 9314 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
118, 9, 103eltr4i 2549 1  |-  -1R  e.  R.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1757   <.cop 3967    X. cxp 4922  (class class class)co 6176   [cec 7185   /.cqs 7186   P.cnp 9113   1Pc1p 9114    +P. cpp 9115    ~R cer 9120   R.cnr 9121   -1Rcm1r 9124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-ec 7189  df-qs 7193  df-ni 9128  df-pli 9129  df-mi 9130  df-lti 9131  df-plpq 9164  df-mpq 9165  df-ltpq 9166  df-enq 9167  df-nq 9168  df-erq 9169  df-plq 9170  df-mq 9171  df-1nq 9172  df-rq 9173  df-ltnq 9174  df-np 9237  df-1p 9238  df-plp 9239  df-enr 9313  df-nr 9314  df-m1r 9320
This theorem is referenced by:  negexsr  9356  sqgt0sr  9360  map2psrpr  9364  supsrlem  9365  mulresr  9393  axmulf  9400  axmulass  9411  axdistr  9412  axi2m1  9413  axrnegex  9416  axcnre  9418
  Copyright terms: Public domain W3C validator