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Theorem m1modmmod 40311
Description: An integer decreased by 1 modulo a positive integer minus the integer modulo the same modulus is either -1 or the modulus minus 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1modmmod  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod 
N )  -  ( A  mod  N ) )  =  if ( ( A  mod  N )  =  0 ,  ( N  -  1 ) ,  -u 1 ) )

Proof of Theorem m1modmmod
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6296 . . . . 5  |-  ( ( A  mod  N )  =  0  ->  (
( ( A  - 
1 )  mod  N
)  -  ( A  mod  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  mod  N )  - 
0 ) )
21adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  mod  N )  =  0 )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod  N )  -  ( A  mod  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  mod  N )  -  0 ) )
3 peano2zm 10977 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
43zred 11037 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
54adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
6 nnrp 11308 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
76adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR+ )
85, 7modcld 12099 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 )  mod  N
)  e.  RR )
98recnd 9666 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 )  mod  N
)  e.  CC )
109subid1d 9972 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod 
N )  -  0 )  =  ( ( A  -  1 )  mod  N ) )
1110adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  mod  N )  =  0 )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod  N )  - 
0 )  =  ( ( A  -  1 )  mod  N ) )
12 mod0mul 40309 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  N )  =  0  ->  E. x  e.  ZZ  A  =  ( x  x.  N ) ) )
1312imp 431 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  mod  N )  =  0 )  ->  E. x  e.  ZZ  A  =  ( x  x.  N ) )
14 oveq1 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( x  x.  N )  ->  ( A  -  1 )  =  ( ( x  x.  N )  - 
1 ) )
1514oveq1d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  ( x  x.  N )  ->  (
( A  -  1 )  mod  N )  =  ( ( ( x  x.  N )  -  1 )  mod 
N ) )
16 zcn 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
17 nncn 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1817adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
19 mulcl 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( x  x.  N
)  e.  CC )
2016, 18, 19syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  N )  e.  CC )
2118adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
2220, 21npcand 9987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  x.  N )  -  N )  +  N )  =  ( x  x.  N ) )
2322eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  N )  =  ( ( ( x  x.  N )  -  N
)  +  N ) )
2416adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
2524, 21mulsubfacd 10075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  N )  -  N )  =  ( ( x  -  1 )  x.  N ) )
2625oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  x.  N )  -  N )  +  N )  =  ( ( ( x  - 
1 )  x.  N
)  +  N ) )
2723, 26eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  N )  =  ( ( ( x  - 
1 )  x.  N
)  +  N ) )
2827oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  N )  - 
1 )  =  ( ( ( ( x  -  1 )  x.  N )  +  N
)  -  1 ) )
29 peano2zm 10977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  -  1 )  e.  ZZ )
3029zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  -  1 )  e.  CC )
31 mulcl 9620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  -  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( x  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
3230, 18, 31syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  -  1 )  x.  N )  e.  CC )
33 1cnd 9656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
3432, 21, 33addsubassd 10003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( x  -  1 )  x.  N )  +  N )  - 
1 )  =  ( ( ( x  - 
1 )  x.  N
)  +  ( N  -  1 ) ) )
3528, 34eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  x.  N )  - 
1 )  =  ( ( ( x  - 
1 )  x.  N
)  +  ( N  -  1 ) ) )
3635oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  x.  N )  -  1 )  mod 
N )  =  ( ( ( ( x  -  1 )  x.  N )  +  ( N  -  1 ) )  mod  N ) )
37 nnre 10613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
38 peano2rem 9938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
4039recnd 9666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4140adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
4241adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  - 
1 )  e.  CC )
4332, 42addcomd 9832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  -  1 )  x.  N )  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( ( x  -  1 )  x.  N ) ) )
4443oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( x  -  1 )  x.  N )  +  ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  ( ( ( N  - 
1 )  +  ( ( x  -  1 )  x.  N ) )  mod  N ) )
4539adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  - 
1 )  e.  RR )
477adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
4829adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  - 
1 )  e.  ZZ )
49 modcyc 12129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+  /\  (
x  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  ( ( x  - 
1 )  x.  N
) )  mod  N
)  =  ( ( N  -  1 )  mod  N ) )
5046, 47, 48, 49syl3anc 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  ( ( x  -  1 )  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( N  -  1 )  mod  N ) )
5139, 6jca 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
5251adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )
)
5352adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
54 nnm1ge0 11001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
5554adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
5655adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
5737ltm1d 10536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  <  N )
5857adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  -  1 )  <  N )
5958adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  - 
1 )  <  N
)
60 modid 12118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  - 
1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  ( N  -  1 )  /\  ( N  - 
1 )  <  N
) )  ->  (
( N  -  1 )  mod  N )  =  ( N  - 
1 ) )
6153, 56, 59, 60syl12anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  mod 
N )  =  ( N  -  1 ) )
6250, 61eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  ( ( x  -  1 )  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( N  -  1 ) )
6336, 44, 623eqtrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  x.  N )  -  1 )  mod 
N )  =  ( N  -  1 ) )
6415, 63sylan9eqr 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  /\  A  =  ( x  x.  N ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  mod  N
)  =  ( N  -  1 ) )
6564ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A  =  ( x  x.  N
)  ->  ( ( A  -  1 )  mod  N )  =  ( N  -  1 ) ) )
6665rexlimdva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  ZZ  A  =  ( x  x.  N )  ->  ( ( A  -  1 )  mod 
N )  =  ( N  -  1 ) ) )
6766adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  mod  N )  =  0 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  A  =  ( x  x.  N )  ->  ( ( A  -  1 )  mod 
N )  =  ( N  -  1 ) ) )
6813, 67mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  mod  N )  =  0 )  ->  ( ( A  -  1 )  mod 
N )  =  ( N  -  1 ) )
692, 11, 683eqtrrd 2489 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( A  mod  N )  =  0 )  ->  ( N  - 
1 )  =  ( ( ( A  - 
1 )  mod  N
)  -  ( A  mod  N ) ) )
70 df-ne 2623 . . . . 5  |-  ( ( A  mod  N )  =/=  0  <->  -.  ( A  mod  N )  =  0 )
71 modn0mul 40310 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  N )  =/=  0  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ( 1..^ N ) A  =  ( ( x  x.  N )  +  y ) ) )
72 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( ( x  x.  N )  +  y )  ->  ( A  -  1 )  =  ( ( ( x  x.  N )  +  y )  - 
1 ) )
7372oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( ( x  x.  N )  +  y )  ->  (
( A  -  1 )  mod  N )  =  ( ( ( ( x  x.  N
)  +  y )  -  1 )  mod 
N ) )
74 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  ( ( x  x.  N )  +  y )  ->  ( A  mod  N )  =  ( ( ( x  x.  N )  +  y )  mod  N
) )
7573, 74oveq12d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( ( x  x.  N )  +  y )  ->  (
( ( A  - 
1 )  mod  N
)  -  ( A  mod  N ) )  =  ( ( ( ( ( x  x.  N )  +  y )  -  1 )  mod  N )  -  ( ( ( x  x.  N )  +  y )  mod  N
) ) )
7616adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  ->  x  e.  CC )
7776, 18, 19syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
x  x.  N )  e.  CC )
78 elfzoelz 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  y  e.  ZZ )
7978zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  y  e.  CC )
8079adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  -> 
y  e.  CC )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  y  e.  CC )
82 1cnd 9656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  1  e.  CC )
8377, 81, 82addsubassd 10003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( x  x.  N )  +  y )  -  1 )  =  ( ( x  x.  N )  +  ( y  -  1 ) ) )
84 peano2zm 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  -  1 )  e.  ZZ )
8578, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( y  -  1 )  e.  ZZ )
8685zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( y  -  1 )  e.  CC )
8786adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  -> 
( y  -  1 )  e.  CC )
8887adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
y  -  1 )  e.  CC )
8977, 88addcomd 9832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( x  x.  N
)  +  ( y  -  1 ) )  =  ( ( y  -  1 )  +  ( x  x.  N
) ) )
9083, 89eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( x  x.  N )  +  y )  -  1 )  =  ( ( y  -  1 )  +  ( x  x.  N
) ) )
9190oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( ( x  x.  N )  +  y )  -  1 )  mod  N )  =  ( ( ( y  -  1 )  +  ( x  x.  N ) )  mod 
N ) )
9285zred 11037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( y  -  1 )  e.  RR )
9392adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  -> 
( y  -  1 )  e.  RR )
9493adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
y  -  1 )  e.  RR )
957adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  N  e.  RR+ )
96 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
97 modcyc 12129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( ( y  - 
1 )  +  ( x  x.  N ) )  mod  N )  =  ( ( y  -  1 )  mod 
N ) )
9894, 95, 96, 97syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( y  - 
1 )  +  ( x  x.  N ) )  mod  N )  =  ( ( y  -  1 )  mod 
N ) )
9991, 98eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( ( x  x.  N )  +  y )  -  1 )  mod  N )  =  ( ( y  -  1 )  mod 
N ) )
10077, 81addcomd 9832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( x  x.  N
)  +  y )  =  ( y  +  ( x  x.  N
) ) )
101100oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( x  x.  N )  +  y )  mod  N )  =  ( ( y  +  ( x  x.  N ) )  mod 
N ) )
10278zred 11037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  y  e.  RR )
103102adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  -> 
y  e.  RR )
104103adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  y  e.  RR )
105 modcyc 12129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR+  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
( y  +  ( x  x.  N ) )  mod  N )  =  ( y  mod 
N ) )
106104, 95, 96, 105syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( y  +  ( x  x.  N ) )  mod  N )  =  ( y  mod 
N ) )
1077, 103anim12ci 570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
y  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
108 elfzole1 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  1  <_  y )
109 0lt1 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  1
110 0red 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  0  e.  RR )
111 1red 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  1  e.  RR )
112 ltleletr 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  y )  ->  0  <_  y
) )
113110, 111, 102, 112syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( (
0  <  1  /\  1  <_  y )  -> 
0  <_  y )
)
114109, 113mpani 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( 1  <_  y  ->  0  <_  y ) )
115108, 114mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  0  <_  y )
116 elfzolt2 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  y  <  N )
117115, 116jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( 0  <_  y  /\  y  <  N ) )
118117adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  -> 
( 0  <_  y  /\  y  <  N ) )
119118adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
0  <_  y  /\  y  <  N ) )
120107, 119jca 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( y  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  N ) ) )
121 modid 12118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( y  mod  N )  =  y )
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
y  mod  N )  =  y )
123101, 106, 1223eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( x  x.  N )  +  y )  mod  N )  =  y )
12499, 123oveq12d 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( ( ( x  x.  N )  +  y )  - 
1 )  mod  N
)  -  ( ( ( x  x.  N
)  +  y )  mod  N ) )  =  ( ( ( y  -  1 )  mod  N )  -  y ) )
12575, 124sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  /\  A  =  ( ( x  x.  N
)  +  y ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  mod  N )  -  ( A  mod  N ) )  =  ( ( ( y  - 
1 )  mod  N
)  -  y ) )
1267, 93anim12ci 570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( y  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ ) )
127 elfzo2 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  <->  ( y  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  y  <  N ) )
128 eluz2 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  1  <_ 
y ) )
129 zre 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
130 zre 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
131 subge0 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
y  -  1 )  <->  1  <_  y )
)
132129, 130, 131syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  (
y  -  1 )  <->  1  <_  y )
)
133132biimp3ar 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  1  <_  y )  ->  0  <_  ( y  -  1 ) )
134128, 133sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  0  <_  ( y  -  1 ) )
1351343ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  y  < 
N )  ->  0  <_  ( y  -  1 ) )
136127, 135sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  0  <_  ( y  -  1 ) )
137136adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  -> 
0  <_  ( y  -  1 ) )
138137adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  0  <_  ( y  -  1 ) )
139 eluzelz 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  y  e.  ZZ )
140139zred 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  y  e.  RR )
141 zre 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
142 ltle 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( y  <  N  ->  y  <_  N )
)
143140, 141, 142syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
y  <  N  ->  y  <_  N ) )
1441433impia 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  y  < 
N )  ->  y  <_  N )
145139anim1i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
1461453adant3 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  y  < 
N )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
147 zlem1lt 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  N  <->  ( y  -  1 )  <  N ) )
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  y  < 
N )  ->  (
y  <_  N  <->  ( y  -  1 )  < 
N ) )
149144, 148mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  y  < 
N )  ->  (
y  -  1 )  <  N )
150149a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ  /\  y  < 
N )  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( y  - 
1 )  <  N
) )
151127, 150sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (
y  -  1 )  <  N ) )
152151adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  (
y  -  1 )  <  N ) )
153152impcom 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
y  -  1 )  <  N )
154 modid 12118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  - 
1 )  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  (
y  -  1 )  /\  ( y  - 
1 )  <  N
) )  ->  (
( y  -  1 )  mod  N )  =  ( y  - 
1 ) )
155126, 138, 153, 154syl12anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( y  -  1 )  mod  N )  =  ( y  - 
1 ) )
156155oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( y  - 
1 )  mod  N
)  -  y )  =  ( ( y  -  1 )  -  y ) )
157 1cnd 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  1  e.  CC )
15879, 157, 79sub32d 10015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( (
y  -  1 )  -  y )  =  ( ( y  -  y )  -  1 ) )
15979subidd 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( y  -  y )  =  0 )
160159oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( (
y  -  y )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
161158, 160eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( 1..^ N )  ->  ( (
y  -  1 )  -  y )  =  ( 0  -  1 ) )
162161adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) )  -> 
( ( y  - 
1 )  -  y
)  =  ( 0  -  1 ) )
163162adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( y  -  1 )  -  y )  =  ( 0  -  1 ) )
164 df-neg 9860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
165163, 164syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( y  -  1 )  -  y )  =  -u 1 )
166156, 165eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  (
( ( y  - 
1 )  mod  N
)  -  y )  =  -u 1 )
167166adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  /\  A  =  ( ( x  x.  N
)  +  y ) )  ->  ( (
( y  -  1 )  mod  N )  -  y )  = 
-u 1 )
168125, 167eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  /\  A  =  ( ( x  x.  N
)  +  y ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  mod  N )  -  ( A  mod  N ) )  =  -u
1 )
169168eqcomd 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  /\  A  =  ( ( x  x.  N
)  +  y ) )  ->  -u 1  =  ( ( ( A  -  1 )  mod 
N )  -  ( A  mod  N ) ) )
170169ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( 1..^ N ) ) )  ->  ( A  =  ( (
x  x.  N )  +  y )  ->  -u 1  =  ( ( ( A  -  1 )  mod  N )  -  ( A  mod  N ) ) ) )
171170rexlimdvva 2885 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ( 1..^ N ) A  =  ( ( x  x.  N )  +  y )  ->  -u 1  =  ( ( ( A  -  1 )  mod  N )  -  ( A  mod  N ) ) ) )
17271, 171syld 45 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  mod  N )  =/=  0  ->  -u 1  =  ( ( ( A  -  1 )  mod  N )  -  ( A  mod  N ) ) ) )
17370, 172syl5bir 222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  ( A  mod  N )  =  0  ->  -u 1  =  ( ( ( A  -  1 )  mod 
N )  -  ( A  mod  N ) ) ) )
174173imp 431 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  -.  ( A  mod  N )  =  0 )  ->  -u 1  =  ( ( ( A  -  1 )  mod  N )  -  ( A  mod  N ) ) )
17569, 174ifeqda 3913 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  if ( ( A  mod  N )  =  0 ,  ( N  -  1 ) , 
-u 1 )  =  ( ( ( A  -  1 )  mod 
N )  -  ( A  mod  N ) ) )
176175eqcomd 2456 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( A  -  1 )  mod 
N )  -  ( A  mod  N ) )  =  if ( ( A  mod  N )  =  0 ,  ( N  -  1 ) ,  -u 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   E.wrex 2737   ifcif 3880   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   -ucneg 9858   NNcn 10606   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299  ..^cfzo 11912    mod cmo 12093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094
This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem1  40413
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