Theorem m1lgs 23763

Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime P iff P == 1 mod 4. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1lgs	|- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Proof of Theorem m1lgs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 10921	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. ZZ
2		oddprm 14351	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
3	2	nnnn0d 10873	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
4		zexpcl 12184	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
6	5	peano2zd 10993	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
7		eldifi 3622	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmnn 14232	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
10	6, 9	zmodcld 12019	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 10875	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. CC )
12		1cnd 9629	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. CC )
13	11, 12, 12	subaddd 9968	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
14		2re 10626	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. RR )
16	9	nnrpd 11280	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR+ )
17		0le2 10647	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 <_ 2 )
19		eldifsni 4158	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
20	9	nnred 10571	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
21		prmuz2 14247	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
22	7, 21	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23		eluzle 11118	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 <_ P )
25	15, 20, 24	leltned 9753	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 < P <-> P =/= 2 ) )
26	19, 25	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
27		modid 12023	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
28	15, 16, 18, 26, 27	syl22anc 1229	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
29		df-2 10615	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
30	28, 29	syl6eq 2514	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = ( 1 + 1 ) )
31	30	eqeq1d 2459	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
32	19	neneqd 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P = 2 )
33		2prm 14245	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
34		dvdsprm 14252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
35	22, 33, 34	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
36	32, 35	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P || 2 )
37	36	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || 2 )
38		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 1 e. CC )
39	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
40		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
41		oexpneg 14061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
43	39	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
44		1exp 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
46	45	negeqd 9833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
47	42, 46	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
48	47	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
49		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
50		neg1cn 10660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
51		1pneg1e0 10665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
52	49, 50, 51	addcomli 9789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
53	48, 52	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = 0 )
54	53	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = ( 2 - 0 ) )
55		2cn 10627	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
56	55	subid1i 9910	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 0 ) = 2
57	54, 56	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = 2 )
58	57	breq2d 4468	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) <-> P || 2 ) )
59	37, 58	mtbird 301	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) )
60	59	ex 434	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
61	60	con4d 105	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
62		2z 10917	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. ZZ )
64		moddvds 14005	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
65	9, 63, 6, 64	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
66		4z 10919	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. ZZ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. ZZ )
68		4ne0 10653	. . . . . . . . . 10 |- 4 =/= 0
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 =/= 0 )
70		nnm1nn0 10858	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
71	9, 70	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
72	71	nn0zd 10988	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
73		dvdsval2 14001	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 4 =/= 0 /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
74	67, 69, 72, 73	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
75	71	nn0cnd 10875	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. CC )
76	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. CC )
77		2ne0 10649	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= 0 )
79	75, 76, 76, 78, 78	divdiv1d 10372	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
80		2t2e4 10706	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
81	80	oveq2i 6307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 4 )
82	79, 81	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 4 ) )
83	82	eleq1d 2526	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
84	74, 83	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
85	2	nnzd 10989	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
86		dvdsval2 14001	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
87	63, 78, 85, 86	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
88	84, 87	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
89	61, 65, 88	3imtr4d 268	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) -> 4 || ( P - 1 ) ) )
90	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 e. CC )
91		neg1ne0 10662	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 =/= 0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 =/= 0 )
93	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
94	84	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
95		expmulz 12215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
96	90, 92, 93, 94, 95	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	2	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
98	97, 76, 78	divcan2d 10343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
100	99	oveq2d 6312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
101		neg1sqe1 12266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
102	101	oveq1i 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) )
103		1exp 12198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
104	94, 103	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
105	102, 104	syl5eq 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
106	96, 100, 105	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
107	106	oveq1d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
108	107, 29	syl6reqr 2517	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 = ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
109	108	oveq1d 6311	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) )
110	109	ex 434	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
111	89, 110	impbid 191	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
112	13, 31, 111	3bitr2d 281	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
113		lgsval3 23715	. . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
114	1, 113	mpan 670	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
115	114	eqeq1d 2459	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 ) )
116		4nn 10716	. . . . 5 |- 4 e. NN
117	116	a1i 11	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. NN )
118		prmz 14233	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
119	7, 118	syl 16	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
120		1zzd 10916	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. ZZ )
121		moddvds 14005	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
122	117, 119, 120, 121	syl3anc 1228	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
123	112, 115, 122	3bitr4d 285	. 2 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) ) )
124		1re 9612	. . . 4 |- 1 e. RR
125		nnrp 11254	. . . . 5 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
126	116, 125	ax-mp 5	. . . 4 |- 4 e. RR+
127		0le1 10097	. . . 4 |- 0 <_ 1
128		1lt4 10728	. . . 4 |- 1 < 4
129		modid 12023	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 4 e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) -> ( 1 mod 4 ) = 1 )
130	124, 126, 127, 128, 129	mp4an 673	. . 3 |- ( 1 mod 4 ) = 1
131	130	eqeq2i 2475	. 2 |- ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> ( P mod 4 ) = 1 )
132	123, 131	syl6bb 261	1 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   \ cdif 3468   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   4c4 10608   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   mod cmo 11999   ^cexp 12169   || cdvds 13998   Primecprime 14229   /Lclgs 23695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-phi 14308  df-pc 14373  df-lgs 23696

This theorem is referenced by:  2sqlem11  23776  2sqblem  23778