Theorem m1lgs 23360

Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime P iff P == 1 mod 4. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1lgs	|- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Proof of Theorem m1lgs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 10890	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. ZZ
2		oddprm 14189	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
3	2	nnnn0d 10843	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
4		zexpcl 12139	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
6	5	peano2zd 10960	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
7		eldifi 3621	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmnn 14070	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
10	6, 9	zmodcld 11974	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 10845	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. CC )
12		ax-1cn 9541	. . . . . 6 |- 1 e. CC
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. CC )
14	11, 13, 13	subaddd 9939	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
15		2re 10596	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. RR )
17	9	nnrpd 11246	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR+ )
18		0le2 10617	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 <_ 2 )
20		eldifsni 4148	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
21	9	nnred 10542	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
22		prmuz2 14085	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	7, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		eluzle 11085	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 <_ P )
26	16, 21, 25	leltned 9726	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 < P <-> P =/= 2 ) )
27	20, 26	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
28		modid 11978	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
29	16, 17, 19, 27, 28	syl22anc 1224	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
30		df-2 10585	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
31	29, 30	syl6eq 2519	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = ( 1 + 1 ) )
32	31	eqeq1d 2464	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
33	20	neneqd 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P = 2 )
34		2prm 14083	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
35		dvdsprm 14090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
36	23, 34, 35	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
37	33, 36	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P || 2 )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || 2 )
39	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 1 e. CC )
40	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
41		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
42		oexpneg 13899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
44	40	nnzd 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
45		1exp 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
47	46	negeqd 9805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
48	43, 47	eqtrd 2503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
49	48	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
50		neg1cn 10630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
51		1pneg1e0 10635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
52	12, 50, 51	addcomli 9762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
53	49, 52	syl6eq 2519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = 0 )
54	53	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = ( 2 - 0 ) )
55		2cn 10597	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
56	55	subid1i 9882	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 0 ) = 2
57	54, 56	syl6eq 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = 2 )
58	57	breq2d 4454	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) <-> P || 2 ) )
59	38, 58	mtbird 301	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) )
60	59	ex 434	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
61	60	con4d 105	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
62		2z 10887	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. ZZ )
64		moddvds 13845	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
65	9, 63, 6, 64	syl3anc 1223	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
66		4nn 10686	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
67	66	nnzi 10879	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. ZZ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. ZZ )
69		4ne0 10623	. . . . . . . . . 10 |- 4 =/= 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 =/= 0 )
71		nnm1nn0 10828	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
72	9, 71	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
73	72	nn0zd 10955	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
74		dvdsval2 13841	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 4 =/= 0 /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
75	68, 70, 73, 74	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
76	72	nn0cnd 10845	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. CC )
77	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. CC )
78		2ne0 10619	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= 0 )
80	76, 77, 77, 79, 79	divdiv1d 10342	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
81		2t2e4 10676	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
82	81	oveq2i 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 4 )
83	80, 82	syl6eq 2519	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 4 ) )
84	83	eleq1d 2531	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
85	75, 84	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
86	2	nnzd 10956	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
87		dvdsval2 13841	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
88	63, 79, 86, 87	syl3anc 1223	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
89	85, 88	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
90	61, 65, 89	3imtr4d 268	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) -> 4 || ( P - 1 ) ) )
91	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 e. CC )
92		neg1ne0 10632	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 =/= 0
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 =/= 0 )
94	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
95	85	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
96		expmulz 12169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	91, 93, 94, 95, 96	syl22anc 1224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
98	2	nncnd 10543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
99	98, 77, 79	divcan2d 10313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
100	99	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
101	100	oveq2d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
102		neg1sqe1 12220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
103	102	oveq1i 6287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) )
104		1exp 12152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
105	95, 104	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
106	103, 105	syl5eq 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
107	97, 101, 106	3eqtr3d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
108	107	oveq1d 6292	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
109	108, 30	syl6reqr 2522	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 = ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
110	109	oveq1d 6292	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) )
111	110	ex 434	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
112	90, 111	impbid 191	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
113	14, 32, 112	3bitr2d 281	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
114		lgsval3 23312	. . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
115	1, 114	mpan 670	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
116	115	eqeq1d 2464	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 ) )
117	66	a1i 11	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. NN )
118		prmz 14071	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
119	7, 118	syl 16	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
120		1z 10885	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
121	120	a1i 11	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. ZZ )
122		moddvds 13845	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
123	117, 119, 121, 122	syl3anc 1223	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
124	113, 116, 123	3bitr4d 285	. 2 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) ) )
125		1re 9586	. . . 4 |- 1 e. RR
126		nnrp 11220	. . . . 5 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
127	66, 126	ax-mp 5	. . . 4 |- 4 e. RR+
128		0le1 10067	. . . 4 |- 0 <_ 1
129		1lt4 10698	. . . 4 |- 1 < 4
130		modid 11978	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 4 e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) -> ( 1 mod 4 ) = 1 )
131	125, 127, 128, 129, 130	mp4an 673	. . 3 |- ( 1 mod 4 ) = 1
132	131	eqeq2i 2480	. 2 |- ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> ( P mod 4 ) = 1 )
133	124, 132	syl6bb 261	1 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   \ cdif 3468   {csn 4022   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   + caddc 9486   x. cmul 9488   < clt 9619   <_ cle 9620   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   4c4 10578   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   RR+crp 11211   mod cmo 11954   ^cexp 12124   || cdivides 13838   Primecprime 14067   /Lclgs 23292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-dvds 13839  df-gcd 13995  df-prm 14068  df-phi 14146  df-pc 14211  df-lgs 23293

This theorem is referenced by:  2sqlem11  23373  2sqblem  23375