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Theorem m1lgs 23360
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime  P iff  P  ==  1 mod 4. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 10890 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  ZZ
2 oddprm 14189 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
32nnnn0d 10843 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
4 zexpcl 12139 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
51, 3, 4sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
65peano2zd 10960 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )
7 eldifi 3621 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
8 prmnn 14070 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  NN )
106, 9zmodcld 11974 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10845 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  e.  CC )
12 ax-1cn 9541 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
1  e.  CC )
1411, 13, 13subaddd 9939 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1  <->  ( 1  +  1 )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
15 2re 10596 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  RR )
179nnrpd 11246 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  RR+ )
18 0le2 10617 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
0  <_  2 )
20 eldifsni 4148 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  =/=  2 )
219nnred 10542 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  RR )
22 prmuz2 14085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
237, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
24 eluzle 11085 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  <_  P )
2616, 21, 25leltned 9726 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  <  P  <->  P  =/=  2 ) )
2720, 26mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  <  P )
28 modid 11978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <  P ) )  ->  ( 2  mod  P )  =  2 )
2916, 17, 19, 27, 28syl22anc 1224 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  mod  P
)  =  2 )
30 df-2 10585 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3129, 30syl6eq 2519 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  mod  P
)  =  ( 1  +  1 ) )
3231eqeq1d 2464 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  ( 1  +  1 )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
3320neneqd 2664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  P  =  2
)
34 2prm 14083 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  Prime
35 dvdsprm 14090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  2  e.  Prime )  ->  ( P  ||  2  <->  P  = 
2 ) )
3623, 34, 35sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  ||  2  <->  P  =  2 ) )
3733, 36mtbird 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  P  ||  2 )
3837adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  P  ||  2 )
3912a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  1  e.  CC )
402adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  2  ||  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
42 oexpneg 13899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  = 
-u ( 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
4339, 40, 41, 42syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u ( 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
4440nnzd 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
45 1exp 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
4746negeqd 9805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -u (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u 1 )
4843, 47eqtrd 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u 1 )
4948oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 ) )
50 neg1cn 10630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
51 1pneg1e0 10635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
5212, 50, 51addcomli 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
5349, 52syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  0 )
5453oveq2d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  =  ( 2  -  0 ) )
55 2cn 10597 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
5655subid1i 9882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  -  0 )  =  2
5754, 56syl6eq 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  =  2 )
5857breq2d 4454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( P  ||  ( 2  -  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )  <->  P  ||  2
) )
5938, 58mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  P  ||  ( 2  -  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
6059ex 434 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  ->  -.  P  ||  ( 2  -  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
6160con4d 105 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  ||  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  ->  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
62 2z 10887 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  ZZ )
64 moddvds 13845 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  2  e.  ZZ  /\  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  P  ||  ( 2  -  ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
659, 63, 6, 64syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  P  ||  ( 2  -  ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
66 4nn 10686 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
6766nnzi 10879 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ZZ
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  e.  ZZ )
69 4ne0 10623 . . . . . . . . . 10  |-  4  =/=  0
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  =/=  0 )
71 nnm1nn0 10828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
729, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  NN0 )
7372nn0zd 10955 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  ZZ )
74 dvdsval2 13841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  4  =/=  0  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( P  - 
1 )  /  4
)  e.  ZZ ) )
7568, 70, 73, 74syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( P  - 
1 )  /  4
)  e.  ZZ ) )
7672nn0cnd 10845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
7755a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  CC )
78 2ne0 10619 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
7978a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  =/=  0 )
8076, 77, 77, 79, 79divdiv1d 10342 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( P  -  1 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
81 2t2e4 10676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
8281oveq2i 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  -  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( P  - 
1 )  /  4
)
8380, 82syl6eq 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( P  -  1 )  /  4 ) )
8483eleq1d 2531 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 )  e.  ZZ  <->  ( ( P  -  1 )  /  4 )  e.  ZZ ) )
8575, 84bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
862nnzd 10956 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
87 dvdsval2 13841 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
( P  -  1 )  /  2 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8863, 79, 86, 87syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  (
( P  -  1 )  /  2 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8985, 88bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <->  2  ||  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
9061, 65, 893imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  ->  4  ||  ( P  -  1
) ) )
9150a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  -u 1  e.  CC )
92 neg1ne0 10632 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
9462a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  2  e.  ZZ )
9585biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( (
( P  -  1 )  /  2 )  /  2 )  e.  ZZ )
96 expmulz 12169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )
9791, 93, 94, 95, 96syl22anc 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )
982nncnd 10543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
9998, 77, 79divcan2d 10313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  x.  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
101100oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
102 neg1sqe1 12220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
103102oveq1i 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 1 ^ ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) )
104 1exp 12152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  - 
1 )  /  2
)  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  /  2 ) )  =  1 )
10595, 104syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  1 )
106103, 105syl5eq 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  1 )
10797, 101, 1063eqtr3d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  =  1 )
108107oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
109108, 30syl6reqr 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  2  =  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )
110109oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 2  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P ) )
111110ex 434 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  ->  ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
11290, 111impbid 191 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
11314, 32, 1123bitr2d 281 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
114 lgsval3 23312 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( -u 1  /L P )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  P )  - 
1 ) )
1151, 114mpan 670 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -u 1  /L
P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  -  1 ) )
116115eqeq1d 2464 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1 ) )
11766a1i 11 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  e.  NN )
118 prmz 14071 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1197, 118syl 16 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  ZZ )
120 1z 10885 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
121120a1i 11 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
1  e.  ZZ )
122 moddvds 13845 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( P  mod  4
)  =  ( 1  mod  4 )  <->  4  ||  ( P  -  1
) ) )
123117, 119, 121, 122syl3anc 1223 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 )  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
124113, 116, 1233bitr4d 285 . 2  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 ) ) )
125 1re 9586 . . . 4  |-  1  e.  RR
126 nnrp 11220 . . . . 5  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
12766, 126ax-mp 5 . . . 4  |-  4  e.  RR+
128 0le1 10067 . . . 4  |-  0  <_  1
129 1lt4 10698 . . . 4  |-  1  <  4
130 modid 11978 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  4  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  4
) )  ->  (
1  mod  4 )  =  1 )
131125, 127, 128, 129, 130mp4an 673 . . 3  |-  ( 1  mod  4 )  =  1
132131eqeq2i 2480 . 2  |-  ( ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 )  <->  ( P  mod  4 )  =  1 )
133124, 132syl6bb 261 1  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657    \ cdif 3468   {csn 4022   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10197   NNcn 10527   2c2 10576   4c4 10578   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   RR+crp 11211    mod cmo 11954   ^cexp 12124    || cdivides 13838   Primecprime 14067    /Lclgs 23292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-dvds 13839  df-gcd 13995  df-prm 14068  df-phi 14146  df-pc 14211  df-lgs 23293
This theorem is referenced by:  2sqlem11  23373  2sqblem  23375
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