MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1lgs Structured version   Unicode version

Theorem m1lgs 23763
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime  P iff  P  ==  1 mod 4. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 10921 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  ZZ
2 oddprm 14351 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
32nnnn0d 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
4 zexpcl 12184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
51, 3, 4sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
65peano2zd 10993 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )
7 eldifi 3622 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
8 prmnn 14232 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  NN )
106, 9zmodcld 12019 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10875 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  e.  CC )
12 1cnd 9629 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
1  e.  CC )
1311, 12, 12subaddd 9968 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1  <->  ( 1  +  1 )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
14 2re 10626 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  RR )
169nnrpd 11280 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  RR+ )
17 0le2 10647 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
0  <_  2 )
19 eldifsni 4158 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  =/=  2 )
209nnred 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  RR )
21 prmuz2 14247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
227, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
23 eluzle 11118 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  <_  P )
2515, 20, 24leltned 9753 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  <  P  <->  P  =/=  2 ) )
2619, 25mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  <  P )
27 modid 12023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <  P ) )  ->  ( 2  mod  P )  =  2 )
2815, 16, 18, 26, 27syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  mod  P
)  =  2 )
29 df-2 10615 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3028, 29syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  mod  P
)  =  ( 1  +  1 ) )
3130eqeq1d 2459 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  ( 1  +  1 )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
3219neneqd 2659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  P  =  2
)
33 2prm 14245 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  Prime
34 dvdsprm 14252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  2  e.  Prime )  ->  ( P  ||  2  <->  P  = 
2 ) )
3522, 33, 34sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  ||  2  <->  P  =  2 ) )
3632, 35mtbird 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  P  ||  2 )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  P  ||  2 )
38 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  1  e.  CC )
392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
40 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  2  ||  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
41 oexpneg 14061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  = 
-u ( 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u ( 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
4339nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
44 1exp 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
4645negeqd 9833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -u (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u 1 )
4742, 46eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u 1 )
4847oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 ) )
49 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
50 neg1cn 10660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
51 1pneg1e0 10665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
5249, 50, 51addcomli 9789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
5348, 52syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  0 )
5453oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  =  ( 2  -  0 ) )
55 2cn 10627 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
5655subid1i 9910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  -  0 )  =  2
5754, 56syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  =  2 )
5857breq2d 4468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( P  ||  ( 2  -  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )  <->  P  ||  2
) )
5937, 58mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  P  ||  ( 2  -  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
6059ex 434 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  ->  -.  P  ||  ( 2  -  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
6160con4d 105 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  ||  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  ->  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
62 2z 10917 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  ZZ )
64 moddvds 14005 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  2  e.  ZZ  /\  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  P  ||  ( 2  -  ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
659, 63, 6, 64syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  P  ||  ( 2  -  ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
66 4z 10919 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ZZ
6766a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  e.  ZZ )
68 4ne0 10653 . . . . . . . . . 10  |-  4  =/=  0
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  =/=  0 )
70 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
719, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  NN0 )
7271nn0zd 10988 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  ZZ )
73 dvdsval2 14001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  4  =/=  0  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( P  - 
1 )  /  4
)  e.  ZZ ) )
7467, 69, 72, 73syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( P  - 
1 )  /  4
)  e.  ZZ ) )
7571nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
7655a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  CC )
77 2ne0 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  =/=  0 )
7975, 76, 76, 78, 78divdiv1d 10372 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( P  -  1 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
80 2t2e4 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
8180oveq2i 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  -  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( P  - 
1 )  /  4
)
8279, 81syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( P  -  1 )  /  4 ) )
8382eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 )  e.  ZZ  <->  ( ( P  -  1 )  /  4 )  e.  ZZ ) )
8474, 83bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
852nnzd 10989 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
86 dvdsval2 14001 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
( P  -  1 )  /  2 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8763, 78, 85, 86syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  (
( P  -  1 )  /  2 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8884, 87bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <->  2  ||  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
8961, 65, 883imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  ->  4  ||  ( P  -  1
) ) )
9050a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  -u 1  e.  CC )
91 neg1ne0 10662 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
9362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  2  e.  ZZ )
9484biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( (
( P  -  1 )  /  2 )  /  2 )  e.  ZZ )
95 expmulz 12215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )
9690, 92, 93, 94, 95syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )
972nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
9897, 76, 78divcan2d 10343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  x.  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
10099oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
101 neg1sqe1 12266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
102101oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 1 ^ ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) )
103 1exp 12198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  - 
1 )  /  2
)  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  /  2 ) )  =  1 )
10494, 103syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  1 )
105102, 104syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  1 )
10696, 100, 1053eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  =  1 )
107106oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
108107, 29syl6reqr 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  2  =  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )
109108oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 2  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P ) )
110109ex 434 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  ->  ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
11189, 110impbid 191 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
11213, 31, 1113bitr2d 281 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
113 lgsval3 23715 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( -u 1  /L P )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  P )  - 
1 ) )
1141, 113mpan 670 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -u 1  /L
P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  -  1 ) )
115114eqeq1d 2459 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1 ) )
116 4nn 10716 . . . . 5  |-  4  e.  NN
117116a1i 11 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  e.  NN )
118 prmz 14233 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1197, 118syl 16 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  ZZ )
120 1zzd 10916 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
1  e.  ZZ )
121 moddvds 14005 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( P  mod  4
)  =  ( 1  mod  4 )  <->  4  ||  ( P  -  1
) ) )
122117, 119, 120, 121syl3anc 1228 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 )  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
123112, 115, 1223bitr4d 285 . 2  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 ) ) )
124 1re 9612 . . . 4  |-  1  e.  RR
125 nnrp 11254 . . . . 5  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
126116, 125ax-mp 5 . . . 4  |-  4  e.  RR+
127 0le1 10097 . . . 4  |-  0  <_  1
128 1lt4 10728 . . . 4  |-  1  <  4
129 modid 12023 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  4  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  4
) )  ->  (
1  mod  4 )  =  1 )
130124, 126, 127, 128, 129mp4an 673 . . 3  |-  ( 1  mod  4 )  =  1
131130eqeq2i 2475 . 2  |-  ( ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 )  <->  ( P  mod  4 )  =  1 )
132123, 131syl6bb 261 1  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   4c4 10608   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245    mod cmo 11999   ^cexp 12169    || cdvds 13998   Primecprime 14229    /Lclgs 23695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-phi 14308  df-pc 14373  df-lgs 23696
This theorem is referenced by:  2sqlem11  23776  2sqblem  23778
  Copyright terms: Public domain W3C validator