Theorem m1lgs 24290

Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime P iff P == 1 mod 4. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1lgs	|- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Proof of Theorem m1lgs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 10973	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. ZZ
2		oddprm 14765	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
3	2	nnnn0d 10925	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
4		zexpcl 12287	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	sylancr 669	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
6	5	peano2zd 11043	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
7		eldifi 3555	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmnn 14625	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
10	6, 9	zmodcld 12117	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 10927	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. CC )
12		1cnd 9659	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. CC )
13	11, 12, 12	subaddd 10004	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
14		2re 10679	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. RR )
16	9	nnrpd 11339	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR+ )
17		0le2 10700	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 <_ 2 )
19		eldifsni 4098	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
20	9	nnred 10624	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
21		prmuz2 14642	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
22	7, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23		eluzle 11171	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 <_ P )
25	15, 20, 24	leltned 9788	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 < P <-> P =/= 2 ) )
26	19, 25	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
27		modid 12121	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
28	15, 16, 18, 26, 27	syl22anc 1269	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
29		df-2 10668	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
30	28, 29	syl6eq 2501	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = ( 1 + 1 ) )
31	30	eqeq1d 2453	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
32	19	neneqd 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P = 2 )
33		2prm 14640	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
34		dvdsprm 14647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
35	22, 33, 34	sylancl 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
36	32, 35	mtbird 303	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P || 2 )
37	36	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || 2 )
38		1cnd 9659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 1 e. CC )
39	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
40		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
41		oexpneg 14368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
43	39	nnzd 11039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
44		1exp 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
46	45	negeqd 9869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
47	42, 46	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
48	47	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
49		ax-1cn 9597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
50		neg1cn 10713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
51		1pneg1e0 10718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
52	49, 50, 51	addcomli 9825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
53	48, 52	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = 0 )
54	53	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = ( 2 - 0 ) )
55		2cn 10680	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
56	55	subid1i 9946	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 0 ) = 2
57	54, 56	syl6eq 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = 2 )
58	57	breq2d 4414	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) <-> P || 2 ) )
59	37, 58	mtbird 303	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) )
60	59	ex 436	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
61	60	con4d 109	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
62		2z 10969	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. ZZ )
64		moddvds 14312	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
65	9, 63, 6, 64	syl3anc 1268	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
66		4z 10971	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. ZZ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. ZZ )
68		4ne0 10706	. . . . . . . . . 10 |- 4 =/= 0
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 =/= 0 )
70		nnm1nn0 10911	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
71	9, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
72	71	nn0zd 11038	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
73		dvdsval2 14308	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 4 =/= 0 /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
74	67, 69, 72, 73	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
75	71	nn0cnd 10927	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. CC )
76	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. CC )
77		2ne0 10702	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= 0 )
79	75, 76, 76, 78, 78	divdiv1d 10414	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
80		2t2e4 10759	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
81	80	oveq2i 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 4 )
82	79, 81	syl6eq 2501	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 4 ) )
83	82	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
84	74, 83	bitr4d 260	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
85	2	nnzd 11039	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
86		dvdsval2 14308	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
87	63, 78, 85, 86	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
88	84, 87	bitr4d 260	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
89	61, 65, 88	3imtr4d 272	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) -> 4 || ( P - 1 ) ) )
90	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 e. CC )
91		neg1ne0 10715	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 =/= 0
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 =/= 0 )
93	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
94	84	biimpa 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
95		expmulz 12318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
96	90, 92, 93, 94, 95	syl22anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	2	nncnd 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
98	97, 76, 78	divcan2d 10385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
99	98	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
100	99	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
101		neg1sqe1 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
102	101	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) )
103		1exp 12301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
104	94, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
105	102, 104	syl5eq 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
106	96, 100, 105	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
107	106	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
108	107, 29	syl6reqr 2504	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 = ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
109	108	oveq1d 6305	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) )
110	109	ex 436	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
111	89, 110	impbid 194	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
112	13, 31, 111	3bitr2d 285	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
113		lgsval3 24242	. . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
114	1, 113	mpan 676	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
115	114	eqeq1d 2453	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 ) )
116		4nn 10769	. . . . 5 |- 4 e. NN
117	116	a1i 11	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. NN )
118		prmz 14626	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
119	7, 118	syl 17	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
120		1zzd 10968	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. ZZ )
121		moddvds 14312	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
122	117, 119, 120, 121	syl3anc 1268	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
123	112, 115, 122	3bitr4d 289	. 2 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) ) )
124		1re 9642	. . . 4 |- 1 e. RR
125		nnrp 11311	. . . . 5 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
126	116, 125	ax-mp 5	. . . 4 |- 4 e. RR+
127		0le1 10137	. . . 4 |- 0 <_ 1
128		1lt4 10781	. . . 4 |- 1 < 4
129		modid 12121	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 4 e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) -> ( 1 mod 4 ) = 1 )
130	124, 126, 127, 128, 129	mp4an 679	. . 3 |- ( 1 mod 4 ) = 1
131	130	eqeq2i 2463	. 2 |- ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> ( P mod 4 ) = 1 )
132	123, 131	syl6bb 265	1 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   \ cdif 3401   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   mod cmo 12096   ^cexp 12272   || cdvds 14305   Primecprime 14622   /Lclgs 24222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623  df-phi 14714  df-pc 14787  df-lgs 24223

This theorem is referenced by:  2sqlem11  24303  2sqblem  24305