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Theorem m1lgs 22585
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime  P iff  P  ==  1 mod 4. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 10668 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  ZZ
2 oddprm 13864 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
32nnnn0d 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
4 zexpcl 11863 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  e.  ZZ )
51, 3, 4sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
65peano2zd 10737 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )
7 eldifi 3466 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  Prime )
8 prmnn 13748 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  NN )
106, 9zmodcld 11711 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10625 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  e.  CC )
12 ax-1cn 9327 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
1  e.  CC )
1411, 13, 13subaddd 9724 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1  <->  ( 1  +  1 )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
15 2re 10378 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  RR )
179nnrpd 11013 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  RR+ )
18 0le2 10399 . . . . . . . 8  |-  0  <_  2
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
0  <_  2 )
20 eldifsni 3989 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  =/=  2 )
219nnred 10324 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  RR )
22 prmuz2 13763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
237, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
24 eluzle 10860 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  <_  P )
2616, 21, 25leltned 9512 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  <  P  <->  P  =/=  2 ) )
2720, 26mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  <  P )
28 modid 11715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  P  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  2  /\  2  <  P ) )  ->  ( 2  mod  P )  =  2 )
2916, 17, 19, 27, 28syl22anc 1212 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  mod  P
)  =  2 )
30 df-2 10367 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3129, 30syl6eq 2481 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  mod  P
)  =  ( 1  +  1 ) )
3231eqeq1d 2441 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  ( 1  +  1 )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
3320neneqd 2614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  P  =  2
)
34 2prm 13761 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  Prime
35 dvdsprm 13767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  2  e.  Prime )  ->  ( P  ||  2  <->  P  = 
2 ) )
3623, 34, 35sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  ||  2  <->  P  =  2 ) )
3733, 36mtbird 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  -.  P  ||  2 )
3837adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  P  ||  2 )
3912a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  1  e.  CC )
402adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
41 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  2  ||  ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )
42 oexpneg 13577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  = 
-u ( 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
4339, 40, 41, 42syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u ( 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
4440nnzd 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
45 1exp 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
4746negeqd 9591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -u (
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u 1 )
4843, 47eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  =  -u 1 )
4948oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 ) )
50 neg1cn 10412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  CC
51 1pneg1e0 10417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
5212, 50, 51addcomli 9548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
5349, 52syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  0 )
5453oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  =  ( 2  -  0 ) )
55 2cn 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
5655subid1i 9667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  -  0 )  =  2
5754, 56syl6eq 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  =  2 )
5857breq2d 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  ( P  ||  ( 2  -  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )  <->  P  ||  2
) )
5938, 58mtbird 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  ->  -.  P  ||  ( 2  -  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
6059ex 434 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -.  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
)  ->  -.  P  ||  ( 2  -  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
6160con4d 105 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  ||  (
2  -  ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) )  ->  2  ||  ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
62 2z 10665 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  ZZ )
64 moddvds 13524 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  2  e.  ZZ  /\  (
( -u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  P  ||  ( 2  -  ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
659, 63, 6, 64syl3anc 1211 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  P  ||  ( 2  -  ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) ) )
66 4nn 10468 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
6766nnzi 10657 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ZZ
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  e.  ZZ )
69 4ne0 10405 . . . . . . . . . 10  |-  4  =/=  0
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  =/=  0 )
71 nnm1nn0 10608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  -  1 )  e.  NN0 )
729, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  NN0 )
7372nn0zd 10732 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  ZZ )
74 dvdsval2 13520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  4  =/=  0  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( P  - 
1 )  /  4
)  e.  ZZ ) )
7568, 70, 73, 74syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( P  - 
1 )  /  4
)  e.  ZZ ) )
7672nn0cnd 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( P  -  1 )  e.  CC )
7755a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  e.  CC )
78 2ne0 10401 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
7978a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
2  =/=  0 )
8076, 77, 77, 79, 79divdiv1d 10125 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( P  -  1 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
81 2t2e4 10458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
8281oveq2i 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  -  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( P  - 
1 )  /  4
)
8380, 82syl6eq 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( P  -  1 )  /  4 ) )
8483eleq1d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 )  e.  ZZ  <->  ( ( P  -  1 )  /  4 )  e.  ZZ ) )
8575, 84bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
862nnzd 10733 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )
87 dvdsval2 13520 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
( P  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
( P  -  1 )  /  2 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8863, 79, 86, 87syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  ||  (
( P  -  1 )  /  2 )  <-> 
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8985, 88bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  <->  2  ||  ( ( P  -  1 )  /  2 ) ) )
9061, 65, 893imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  ->  4  ||  ( P  -  1
) ) )
9150a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  -u 1  e.  CC )
92 neg1ne0 10414 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
9392a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
9462a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  2  e.  ZZ )
9585biimpa 481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( (
( P  -  1 )  /  2 )  /  2 )  e.  ZZ )
96 expmulz 11893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  /\  (
2  e.  ZZ  /\  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
)  e.  ZZ ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )
9791, 93, 94, 95, 96syl22anc 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^
( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )
982nncnd 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  - 
1 )  /  2
)  e.  CC )
9998, 77, 79divcan2d 10096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 2  x.  (
( ( P  - 
1 )  /  2
)  /  2 ) )  =  ( ( P  -  1 )  /  2 ) )
10099adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
) )
101100oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) ) )
102 neg1sqe1 11944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  1
103102oveq1i 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  /  2 ) )  =  ( 1 ^ ( ( ( P  -  1 )  / 
2 )  /  2
) )
104 1exp 11876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  - 
1 )  /  2
)  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  /  2 ) )  =  1 )
10595, 104syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 1 ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  1 )
106103, 105syl5eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P  -  1 )  /  2 )  / 
2 ) )  =  1 )
10797, 101, 1063eqtr3d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  =  1 )
108107oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
109108, 30syl6reqr 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  2  =  ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 ) )
110109oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  4  ||  ( P  -  1 ) )  ->  ( 2  mod  P )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P ) )
111110ex 434 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( 4  ||  ( P  -  1 )  ->  ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
) ) )
11290, 111impbid 191 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( 2  mod 
P )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  P
)  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
11314, 32, 1123bitr2d 281 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
114 lgsval3 22537 . . . . 5  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( -u 1  /L P )  =  ( ( ( (
-u 1 ^ (
( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  P )  - 
1 ) )
1151, 114mpan 663 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( -u 1  /L
P )  =  ( ( ( ( -u
1 ^ ( ( P  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod 
P )  -  1 ) )
116115eqeq1d 2441 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  mod  P )  -  1 )  =  1 ) )
11766a1i 11 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
4  e.  NN )
118 prmz 13749 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1197, 118syl 16 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  ->  P  e.  ZZ )
120 1z 10663 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
121120a1i 11 . . . 4  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
1  e.  ZZ )
122 moddvds 13524 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( P  mod  4
)  =  ( 1  mod  4 )  <->  4  ||  ( P  -  1
) ) )
123117, 119, 121, 122syl3anc 1211 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 )  <->  4  ||  ( P  -  1 ) ) )
124113, 116, 1233bitr4d 285 . 2  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 ) ) )
125 1re 9372 . . . 4  |-  1  e.  RR
126 nnrp 10987 . . . . 5  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
12766, 126ax-mp 5 . . . 4  |-  4  e.  RR+
128 0le1 9850 . . . 4  |-  0  <_  1
129 1lt4 10480 . . . 4  |-  1  <  4
130 modid 11715 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  4  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  4
) )  ->  (
1  mod  4 )  =  1 )
131125, 127, 128, 129, 130mp4an 666 . . 3  |-  ( 1  mod  4 )  =  1
132131eqeq2i 2443 . 2  |-  ( ( P  mod  4 )  =  ( 1  mod  4 )  <->  ( P  mod  4 )  =  1 )
133124, 132syl6bb 261 1  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  /L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596    \ cdif 3313   {csn 3865   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582   -ucneg 9583    / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   4c4 10360   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978    mod cmo 11691   ^cexp 11848    || cdivides 13517   Primecprime 13745    /Lclgs 22517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-dvds 13518  df-gcd 13673  df-prm 13746  df-phi 13823  df-pc 13886  df-lgs 22518
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