Theorem m1lgs 22585

Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime P iff P == 1 mod 4. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1lgs	|- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Proof of Theorem m1lgs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 10668	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. ZZ
2		oddprm 13864	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
3	2	nnnn0d 10623	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
4		zexpcl 11863	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	sylancr 656	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
6	5	peano2zd 10737	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
7		eldifi 3466	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmnn 13748	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
10	6, 9	zmodcld 11711	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 10625	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. CC )
12		ax-1cn 9327	. . . . . 6 |- 1 e. CC
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. CC )
14	11, 13, 13	subaddd 9724	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
15		2re 10378	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. RR )
17	9	nnrpd 11013	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR+ )
18		0le2 10399	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 <_ 2 )
20		eldifsni 3989	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
21	9	nnred 10324	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
22		prmuz2 13763	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	7, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		eluzle 10860	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 <_ P )
26	16, 21, 25	leltned 9512	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 < P <-> P =/= 2 ) )
27	20, 26	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
28		modid 11715	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
29	16, 17, 19, 27, 28	syl22anc 1212	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
30		df-2 10367	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
31	29, 30	syl6eq 2481	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = ( 1 + 1 ) )
32	31	eqeq1d 2441	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
33	20	neneqd 2614	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P = 2 )
34		2prm 13761	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
35		dvdsprm 13767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
36	23, 34, 35	sylancl 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
37	33, 36	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P || 2 )
38	37	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || 2 )
39	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 1 e. CC )
40	2	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
41		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
42		oexpneg 13577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
44	40	nnzd 10733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
45		1exp 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
47	46	negeqd 9591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
48	43, 47	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
49	48	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
50		neg1cn 10412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
51		1pneg1e0 10417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
52	12, 50, 51	addcomli 9548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
53	49, 52	syl6eq 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = 0 )
54	53	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = ( 2 - 0 ) )
55		2cn 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
56	55	subid1i 9667	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 0 ) = 2
57	54, 56	syl6eq 2481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = 2 )
58	57	breq2d 4292	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) <-> P || 2 ) )
59	38, 58	mtbird 301	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) )
60	59	ex 434	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
61	60	con4d 105	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
62		2z 10665	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. ZZ )
64		moddvds 13524	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
65	9, 63, 6, 64	syl3anc 1211	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
66		4nn 10468	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
67	66	nnzi 10657	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. ZZ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. ZZ )
69		4ne0 10405	. . . . . . . . . 10 |- 4 =/= 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 =/= 0 )
71		nnm1nn0 10608	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
72	9, 71	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
73	72	nn0zd 10732	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
74		dvdsval2 13520	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 4 =/= 0 /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
75	68, 70, 73, 74	syl3anc 1211	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
76	72	nn0cnd 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. CC )
77	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. CC )
78		2ne0 10401	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= 0 )
80	76, 77, 77, 79, 79	divdiv1d 10125	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
81		2t2e4 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
82	81	oveq2i 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 4 )
83	80, 82	syl6eq 2481	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 4 ) )
84	83	eleq1d 2499	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
85	75, 84	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
86	2	nnzd 10733	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
87		dvdsval2 13520	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
88	63, 79, 86, 87	syl3anc 1211	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
89	85, 88	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
90	61, 65, 89	3imtr4d 268	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) -> 4 || ( P - 1 ) ) )
91	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 e. CC )
92		neg1ne0 10414	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 =/= 0
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 =/= 0 )
94	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
95	85	biimpa 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
96		expmulz 11893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	91, 93, 94, 95, 96	syl22anc 1212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
98	2	nncnd 10325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
99	98, 77, 79	divcan2d 10096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
100	99	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
101	100	oveq2d 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
102		neg1sqe1 11944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
103	102	oveq1i 6090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) )
104		1exp 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
105	95, 104	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
106	103, 105	syl5eq 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
107	97, 101, 106	3eqtr3d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
108	107	oveq1d 6095	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
109	108, 30	syl6reqr 2484	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 = ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
110	109	oveq1d 6095	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) )
111	110	ex 434	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
112	90, 111	impbid 191	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
113	14, 32, 112	3bitr2d 281	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
114		lgsval3 22537	. . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
115	1, 114	mpan 663	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
116	115	eqeq1d 2441	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 ) )
117	66	a1i 11	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. NN )
118		prmz 13749	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
119	7, 118	syl 16	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
120		1z 10663	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
121	120	a1i 11	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. ZZ )
122		moddvds 13524	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
123	117, 119, 121, 122	syl3anc 1211	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
124	113, 116, 123	3bitr4d 285	. 2 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) ) )
125		1re 9372	. . . 4 |- 1 e. RR
126		nnrp 10987	. . . . 5 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
127	66, 126	ax-mp 5	. . . 4 |- 4 e. RR+
128		0le1 9850	. . . 4 |- 0 <_ 1
129		1lt4 10480	. . . 4 |- 1 < 4
130		modid 11715	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 4 e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) -> ( 1 mod 4 ) = 1 )
131	125, 127, 128, 129, 130	mp4an 666	. . 3 |- ( 1 mod 4 ) = 1
132	131	eqeq2i 2443	. 2 |- ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> ( P mod 4 ) = 1 )
133	124, 132	syl6bb 261	1 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   =/= wne 2596   \ cdif 3313   {csn 3865   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   + caddc 9272   x. cmul 9274   < clt 9405   <_ cle 9406   - cmin 9582   -ucneg 9583   / cdiv 9980   NNcn 10309   2c2 10358   4c4 10360   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978   mod cmo 11691   ^cexp 11848   || cdivides 13517   Primecprime 13745   /Lclgs 22517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-dvds 13518  df-gcd 13673  df-prm 13746  df-phi 13823  df-pc 13886  df-lgs 22518

This theorem is referenced by:  2sqlem11  22598  2sqblem  22600