Theorem m1lgs 22723

Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime P iff P == 1 mod 4. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1lgs	|- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Proof of Theorem m1lgs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 10702	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. ZZ
2		oddprm 13903	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
3	2	nnnn0d 10657	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
4		zexpcl 11901	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
5	1, 3, 4	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
6	5	peano2zd 10771	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
7		eldifi 3499	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8		prmnn 13787	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
10	6, 9	zmodcld 11749	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 10659	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. CC )
12		ax-1cn 9361	. . . . . 6 |- 1 e. CC
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. CC )
14	11, 13, 13	subaddd 9758	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
15		2re 10412	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. RR )
17	9	nnrpd 11047	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR+ )
18		0le2 10433	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 <_ 2 )
20		eldifsni 4022	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
21	9	nnred 10358	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
22		prmuz2 13802	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	7, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		eluzle 10894	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ P )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 <_ P )
26	16, 21, 25	leltned 9546	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 < P <-> P =/= 2 ) )
27	20, 26	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
28		modid 11753	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ P e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
29	16, 17, 19, 27, 28	syl22anc 1219	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
30		df-2 10401	. . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
31	29, 30	syl6eq 2491	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = ( 1 + 1 ) )
32	31	eqeq1d 2451	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
33	20	neneqd 2627	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P = 2 )
34		2prm 13800	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
35		dvdsprm 13806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
36	23, 34, 35	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
37	33, 36	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P || 2 )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || 2 )
39	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 1 e. CC )
40	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
41		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
42		oexpneg 13616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
44	40	nnzd 10767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
45		1exp 11914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
47	46	negeqd 9625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
48	43, 47	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
49	48	oveq1d 6127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
50		neg1cn 10446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
51		1pneg1e0 10451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
52	12, 50, 51	addcomli 9582	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
53	49, 52	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = 0 )
54	53	oveq2d 6128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = ( 2 - 0 ) )
55		2cn 10413	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
56	55	subid1i 9701	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 0 ) = 2
57	54, 56	syl6eq 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = 2 )
58	57	breq2d 4325	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) <-> P || 2 ) )
59	38, 58	mtbird 301	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) )
60	59	ex 434	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
61	60	con4d 105	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
62		2z 10699	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. ZZ )
64		moddvds 13563	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
65	9, 63, 6, 64	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
66		4nn 10502	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
67	66	nnzi 10691	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. ZZ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. ZZ )
69		4ne0 10439	. . . . . . . . . 10 |- 4 =/= 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 =/= 0 )
71		nnm1nn0 10642	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
72	9, 71	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
73	72	nn0zd 10766	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
74		dvdsval2 13559	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 4 =/= 0 /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
75	68, 70, 73, 74	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
76	72	nn0cnd 10659	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. CC )
77	55	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. CC )
78		2ne0 10435	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= 0 )
80	76, 77, 77, 79, 79	divdiv1d 10159	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
81		2t2e4 10492	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
82	81	oveq2i 6123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 4 )
83	80, 82	syl6eq 2491	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 4 ) )
84	83	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
85	75, 84	bitr4d 256	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
86	2	nnzd 10767	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
87		dvdsval2 13559	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
88	63, 79, 86, 87	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
89	85, 88	bitr4d 256	. . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
90	61, 65, 89	3imtr4d 268	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) -> 4 || ( P - 1 ) ) )
91	50	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 e. CC )
92		neg1ne0 10448	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 =/= 0
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 =/= 0 )
94	62	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
95	85	biimpa 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
96		expmulz 11931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
97	91, 93, 94, 95, 96	syl22anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
98	2	nncnd 10359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
99	98, 77, 79	divcan2d 10130	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
100	99	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
101	100	oveq2d 6128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
102		neg1sqe1 11982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
103	102	oveq1i 6122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) )
104		1exp 11914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
105	95, 104	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
106	103, 105	syl5eq 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
107	97, 101, 106	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
108	107	oveq1d 6127	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
109	108, 30	syl6reqr 2494	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 = ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
110	109	oveq1d 6127	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) )
111	110	ex 434	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
112	90, 111	impbid 191	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
113	14, 32, 112	3bitr2d 281	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
114		lgsval3 22675	. . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
115	1, 114	mpan 670	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
116	115	eqeq1d 2451	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 ) )
117	66	a1i 11	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. NN )
118		prmz 13788	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
119	7, 118	syl 16	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
120		1z 10697	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
121	120	a1i 11	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. ZZ )
122		moddvds 13563	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
123	117, 119, 121, 122	syl3anc 1218	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
124	113, 116, 123	3bitr4d 285	. 2 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) ) )
125		1re 9406	. . . 4 |- 1 e. RR
126		nnrp 11021	. . . . 5 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
127	66, 126	ax-mp 5	. . . 4 |- 4 e. RR+
128		0le1 9884	. . . 4 |- 0 <_ 1
129		1lt4 10514	. . . 4 |- 1 < 4
130		modid 11753	. . . 4 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 4 e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) -> ( 1 mod 4 ) = 1 )
131	125, 127, 128, 129, 130	mp4an 673	. . 3 |- ( 1 mod 4 ) = 1
132	131	eqeq2i 2453	. 2 |- ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> ( P mod 4 ) = 1 )
133	124, 132	syl6bb 261	1 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   \ cdif 3346   {csn 3898   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   + caddc 9306   x. cmul 9308   < clt 9439   <_ cle 9440   - cmin 9616   -ucneg 9617   / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   4c4 10394   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   RR+crp 11012   mod cmo 11729   ^cexp 11886   || cdivides 13556   Primecprime 13784   /Lclgs 22655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-prm 13785  df-phi 13862  df-pc 13925  df-lgs 22656

This theorem is referenced by:  2sqlem11  22736  2sqblem  22738