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Theorem lzunuz 29241
Description: The union of a lower set of integers and an upper set of integers which abut or overlap is all of the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzunuz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( A  + 
1 ) ) )  u.  ( ZZ>= `  B
) )  =  ZZ )

Proof of Theorem lzunuz
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3592 . . 3  |-  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  u.  ( ZZ>=
`  B ) )  <-> 
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
2 ellz1 29240 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A ) ) )
323ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A ) ) )
4 eluz1 10963 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_ 
a ) ) )
543ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_ 
a ) ) )
63, 5orbi12d 709 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_  a )
) ) )
7 zre 10748 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  RR )
9 simpl1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
109zred 10845 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
11 lelttric 9579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( a  <_  A  \/  A  <  a ) )
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  <_  A  \/  A  <  a ) )
13 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  e.  ZZ )
1413zred 10845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  e.  RR )
15 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  A  e.  ZZ )
1615peano2zd 10848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
1716zred 10845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
187ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  a  e.  RR )
19 simpll3 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  <_  ( A  +  1 ) )
20 zltp1le 10792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  <->  ( A  +  1 )  <_  a ) )
21203ad2antl1 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  <->  ( A  +  1 )  <_  a ) )
2221biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  <_  a )
2314, 17, 18, 19, 22letrd 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  <_  a )
2423ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  ->  B  <_  a )
)
2524orim2d 836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  <_  A  \/  A  <  a )  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_ 
a ) ) )
2612, 25mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) )
2726ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ZZ  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) ) )
2827pm4.71d 634 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ZZ  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) ) ) )
29 andi 862 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) )  <->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  (
a  e.  ZZ  /\  B  <_  a ) ) )
3028, 29syl6rbb 262 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  (
a  e.  ZZ  /\  B  <_  a ) )  <-> 
a  e.  ZZ ) )
316, 30bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) )  <->  a  e.  ZZ ) )
321, 31syl5bb 257 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  u.  ( ZZ>= `  B )
)  <->  a  e.  ZZ ) )
3332eqrdv 2448 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( A  + 
1 ) ) )  u.  ( ZZ>= `  B
) )  =  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3420    u. cun 3421   class class class wbr 4387   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   RRcr 9379   1c1 9381    + caddc 9383    < clt 9516    <_ cle 9517   ZZcz 10744   ZZ>=cuz 10959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960
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