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Theorem lzunuz 30906
Description: The union of a lower set of integers and an upper set of integers which abut or overlap is all of the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzunuz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( A  + 
1 ) ) )  u.  ( ZZ>= `  B
) )  =  ZZ )

Proof of Theorem lzunuz
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3641 . . 3  |-  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  u.  ( ZZ>=
`  B ) )  <-> 
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
2 ellz1 30905 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A ) ) )
323ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A ) ) )
4 eluz1 11110 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_ 
a ) ) )
543ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_ 
a ) ) )
63, 5orbi12d 709 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_  a )
) ) )
7 zre 10889 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  RR )
9 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
109zred 10990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
11 lelttric 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( a  <_  A  \/  A  <  a ) )
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  <_  A  \/  A  <  a ) )
13 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  e.  ZZ )
1413zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  e.  RR )
15 simpll1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  A  e.  ZZ )
1615peano2zd 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
1716zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
187ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  a  e.  RR )
19 simpll3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  <_  ( A  +  1 ) )
20 zltp1le 10934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  <->  ( A  +  1 )  <_  a ) )
21203ad2antl1 1158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  <->  ( A  +  1 )  <_  a ) )
2221biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  <_  a )
2314, 17, 18, 19, 22letrd 9756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  <_  a )
2423ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  ->  B  <_  a )
)
2524orim2d 840 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  <_  A  \/  A  <  a )  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_ 
a ) ) )
2612, 25mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) )
2726ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ZZ  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) ) )
2827pm4.71d 634 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ZZ  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) ) ) )
29 andi 867 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) )  <->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  (
a  e.  ZZ  /\  B  <_  a ) ) )
3028, 29syl6rbb 262 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  (
a  e.  ZZ  /\  B  <_  a ) )  <-> 
a  e.  ZZ ) )
316, 30bitrd 253 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) )  <->  a  e.  ZZ ) )
321, 31syl5bb 257 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  u.  ( ZZ>= `  B )
)  <->  a  e.  ZZ ) )
3332eqrdv 2454 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( A  + 
1 ) ) )  u.  ( ZZ>= `  B
) )  =  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    u. cun 3469   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107
This theorem is referenced by:  diophin  30911
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