Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lzenom Structured version   Unicode version

Theorem lzenom 30307
Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzenom  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )

Proof of Theorem lzenom
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10869 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
2 difexg 4595 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
31, 2mp1i 12 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
4 nnex 10538 . . . 4  |-  NN  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  NN  e.  _V )
6 ovex 6307 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  -  a )  e. 
_V
76a1ii 27 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  a )  e.  _V ) )
8 ovex 6307 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  -  b )  e. 
_V
98a1ii 27 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  _V ) )
10 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
1110peano2zd 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
12 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  ZZ )
1311, 12zsubcld 10967 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ )
14 zre 10864 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
1514ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  RR )
1611zred 10962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
17 1re 9591 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  1  e.  RR )
19 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  <_  N )
20 zcn 10865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
23 pncan 9822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
2519, 24breqtrrd 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  <_  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2615, 16, 18, 25lesubd 10152 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )
2711zcnd 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
28 zcn 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
2928ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  CC )
3027, 29nncand 9931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  =  a )
3130eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  a ) ) )
3213, 26, 31jca31 534 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
3332adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  + 
1 )  -  a
) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) ) )
34 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
b  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ ) )
35 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
1  <_  b  <->  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )
3634, 35anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  <->  ( ( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
37 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( N  +  1 )  -  b )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) )
3837eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  <->  a  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
3936, 38anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) ) )
4039ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <-> 
( ( ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( ( N  + 
1 )  -  a
) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) ) ) )
4133, 40mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )
42 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  ZZ )
4342peano2zd 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
44 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  ZZ )
4543, 44zsubcld 10967 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ )
4643zred 10962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
47 zre 10864 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  RR )
49 zre 10864 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
5049ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  RR )
5148recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  CC )
52 pncan2 9823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5351, 22, 52sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  N )  =  1 )
54 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  1  <_  b )
5553, 54eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  N )  <_ 
b )
5646, 48, 50, 55subled 10151 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N )
5743zcnd 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
58 zcn 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
5958ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  CC )
6057, 59nncand 9931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  =  b )
6160eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  b ) ) )
6245, 56, 61jca31 534 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )  /\  b  =  (
( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
6362adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ  /\  (
( N  +  1 )  -  b )  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
64 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
a  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ ) )
65 breq1 4450 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
a  <_  N  <->  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N ) )
6664, 65anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  <->  ( ( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )
) )
67 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( N  +  1 )  -  a )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  b
) ) )
6867eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  <->  b  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
6966, 68anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )  /\  b  =  (
( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) ) )
7069ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( ( ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ  /\  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  b
) ) ) ) )
7163, 70mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )
7241, 71impbida 830 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <->  ( (
b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
73 ellz1 30304 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
7473anbi1d 704 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
75 elnnz1 10886 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b ) )
7675a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b ) ) )
7776anbi1d 704 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( b  e.  NN  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <-> 
( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
7872, 74, 773bitr4d 285 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( b  e.  NN  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
793, 5, 7, 9, 78en2d 7548 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  NN )
80 nnenom 12054 . 2  |-  NN  ~~  om
81 entr 7564 . 2  |-  ( ( ( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )
8279, 80, 81sylancl 662 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678    ~~ cen 7510   CCcc 9486   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  diophin  30310  diophren  30351
  Copyright terms: Public domain W3C validator