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Theorem lzenom 29111
Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzenom  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )

Proof of Theorem lzenom
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10658 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
2 difexg 4443 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
31, 2mp1i 12 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
4 nnex 10331 . . . 4  |-  NN  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  NN  e.  _V )
6 ovex 6119 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  -  a )  e. 
_V
76a1ii 27 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  a )  e.  _V ) )
8 ovex 6119 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  -  b )  e. 
_V
98a1ii 27 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  _V ) )
10 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
1110peano2zd 10753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
12 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  ZZ )
1311, 12zsubcld 10755 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ )
14 zre 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
1514ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  RR )
1611zred 10750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
17 1re 9388 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  1  e.  RR )
19 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  <_  N )
20 zcn 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 9343 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
23 pncan 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
2519, 24breqtrrd 4321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  <_  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2615, 16, 18, 25lesubd 9946 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )
2711zcnd 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
28 zcn 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
2928ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  CC )
3027, 29nncand 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  =  a )
3130eqcomd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  a ) ) )
3213, 26, 31jca31 534 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
3332adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  + 
1 )  -  a
) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) ) )
34 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
b  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ ) )
35 breq2 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
1  <_  b  <->  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )
3634, 35anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  <->  ( ( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
37 oveq2 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( N  +  1 )  -  b )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) )
3837eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  <->  a  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
3936, 38anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) ) )
4039ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <-> 
( ( ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( ( N  + 
1 )  -  a
) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) ) ) )
4133, 40mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )
42 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  ZZ )
4342peano2zd 10753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
44 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  ZZ )
4543, 44zsubcld 10755 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ )
4643zred 10750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
47 zre 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  RR )
49 zre 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
5049ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  RR )
5148recnd 9415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  CC )
52 pncan2 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5351, 22, 52sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  N )  =  1 )
54 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  1  <_  b )
5553, 54eqbrtrd 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  N )  <_ 
b )
5646, 48, 50, 55subled 9945 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N )
5743zcnd 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
58 zcn 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
5958ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  CC )
6057, 59nncand 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  =  b )
6160eqcomd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  b ) ) )
6245, 56, 61jca31 534 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )  /\  b  =  (
( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
6362adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ  /\  (
( N  +  1 )  -  b )  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
64 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
a  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ ) )
65 breq1 4298 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
a  <_  N  <->  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N ) )
6664, 65anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  <->  ( ( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )
) )
67 oveq2 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( N  +  1 )  -  a )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  b
) ) )
6867eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  <->  b  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
6966, 68anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )  /\  b  =  (
( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) ) )
7069ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( ( ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ  /\  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  b
) ) ) ) )
7163, 70mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )
7241, 71impbida 828 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <->  ( (
b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
73 ellz1 29108 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
7473anbi1d 704 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
75 elnnz1 10675 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b ) )
7675a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b ) ) )
7776anbi1d 704 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( b  e.  NN  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <-> 
( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
7872, 74, 773bitr4d 285 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( b  e.  NN  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
793, 5, 7, 9, 78en2d 7348 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  NN )
80 nnenom 11805 . 2  |-  NN  ~~  om
81 entr 7364 . 2  |-  ( ( ( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )
8279, 80, 81sylancl 662 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2975    \ cdif 3328   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   omcom 6479    ~~ cen 7310   CCcc 9283   RRcr 9284   1c1 9286    + caddc 9288    <_ cle 9422    - cmin 9598   NNcn 10325   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865
This theorem is referenced by:  diophin  29114  diophren  29155
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