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Theorem lxflflp1 28426
Description: Theorem to move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
lxflflp1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  B  <->  A  <  ( ( |_
`  B )  +  1 ) ) )

Proof of Theorem lxflflp1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 11655 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 flval 11649 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
43ad3antlr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
5 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  A )  <_  B )
61adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
7 reflcl 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
8 peano2re 9547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
11 lttr 9456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  < 
A  /\  A  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1210, 11mpd3an3 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  < 
A  /\  A  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1312ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  < 
A  /\  A  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
146, 13mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
1514imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
17 flcl 11650 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
18 rebtwnz 10957 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) )
19 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  <_  B  <->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
20 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
2120breq2d 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  ( B  <  ( x  + 
1 )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
2219, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
( x  <_  B  /\  B  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( |_ `  A )  <_  B  /\  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
2322riota2 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  A )  <_  B  /\  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  A
) ) )
2417, 18, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  <_  B  /\  B  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  (
x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) ) )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  B  /\  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) ) )
265, 16, 25mpbi2and 912 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) )
274, 26eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  B )  =  ( |_ `  A
) )
2827oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  (
( |_ `  B
)  +  1 )  =  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
292, 28breqtrrd 4323 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )
3029ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B
)  ->  ( B  <  A  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
31 lenlt 9458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
32 flltp1 11655 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )
34 reflcl 11651 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  B )  e.  RR )
35 peano2re 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  B )  e.  RR  ->  (
( |_ `  B
)  +  1 )  e.  RR )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( |_ `  B
)  +  1 )  e.  RR )
3736adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  B )  +  1 )  e.  RR )
38 lelttr 9470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
( |_ `  B
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( A  <_  B  /\  B  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
3937, 38mpd3an3 1315 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
4033, 39mpan2d 674 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) ) )
4131, 40sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
4241adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B
)  ->  ( -.  B  <  A  ->  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) ) )
4330, 42pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B
)  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) )
44 flval 11649 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
4544ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
4634ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( |_ `  B )  e.  RR )
47 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  A  e.  RR )
48 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  B  e.  RR )
49 flle 11654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  B )  <_  B )
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( |_ `  B )  <_  B
)
51 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  B  <  A )
5246, 48, 47, 50, 51lelttrd 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( |_ `  B )  <  A
)
5346, 47, 52ltled 9527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( |_ `  B )  <_  A
)
5453adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  B )  <_  A )
55 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )
56 flcl 11650 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  B )  e.  ZZ )
57 rebtwnz 10957 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
58 breq1 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( |_ `  B )  ->  (
x  <_  A  <->  ( |_ `  B )  <_  A
) )
59 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( |_ `  B )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  B )  +  1 ) )
6059breq2d 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( |_ `  B )  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
6158, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  B )  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( |_ `  B )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) ) ) )
6261riota2 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  B
)  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  B )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  B
) ) )
6356, 57, 62syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  B )  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  B ) ) )
6463ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  (
( ( |_ `  B )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  B ) ) )
6554, 55, 64mpbi2and 912 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  B ) )
6645, 65eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  A )  =  ( |_ `  B
) )
6749ad3antlr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  B )  <_  B )
6866, 67eqbrtrd 4317 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  A )  <_  B )
6968ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  ( B  <  A  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
70 flle 11654 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
7170adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
727adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
73 letr 9473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
74733coml 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
7572, 74mpd3an3 1315 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  <_  A  /\  A  <_  B
)  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
7671, 75mpand 675 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  ( |_ `  A
)  <_  B )
)
7731, 76sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
7877adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  ( -.  B  <  A  ->  ( |_ `  A )  <_  B ) )
7969, 78pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  ( |_ `  A )  <_  B
)
8043, 79impbida 828 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  B  <->  A  <  ( ( |_
`  B )  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E!wreu 2722   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   iota_crio 6056  (class class class)co 6096   RRcr 9286   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424   ZZcz 10651   |_cfl 11645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fl 11647
This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  28449
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