Theorem lvsovso3 15040

Description: Condition on the values of two numerical functions so that their limits are weakly ordered. Bourbaki TG IV.18 th. 1. (Proof shortened by NM, 18-Jul-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvsovso.1	|- Y = U.F
lvsovso.2	|- L1 = U.((J fLimf F)` F1)
lvsovso.3	|- L2 = U.((J fLimf F)` F2)
lvsovso.4	|- J = (topGen` ran (,))

Assertion

Ref	Expression
lvsovso3	|- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> L1 <_ L2)

Distinct variable groups:   x,F   x,F₁   x,F₂   x,J   x,L₁   x,L₂   x,Y

Proof of Theorem lvsovso3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 882	. . 3 |- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> ((J fLimf F)` F1) =/= (/))
2		simpr2 883	. . 3 |- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> ((J fLimf F)` F2) =/= (/))
3		elssuni 3206	. . . . . 6 |- (a e. F -> a C_ U.F)
4		lvsovso.1	. . . . . . . . 9 |- Y = U.F
5	4	eqcomi 1888	. . . . . . . 8 |- U.F = Y
6	5	sseq2i 2642	. . . . . . 7 |- (a C_ U.F <-> a C_ Y)
7		ssralv 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (a C_ Y -> (A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x) -> A.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))
8		r19.2z 2958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((a =/= (/) /\ A.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)) -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))
9	8	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (a =/= (/) -> (A.x e. a (F1` x) <_ (F2` x) -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))
10	9	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (a e. F -> (a =/= (/) -> (A.x e. a (F1` x) <_ (F2` x) -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))))
11	10	com13 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.x e. a (F1` x) <_ (F2` x) -> (a =/= (/) -> (a e. F -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))))
12	7, 11	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (a C_ Y -> (A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x) -> (a =/= (/) -> (a e. F -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))))
13	12	com4l 43	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x) -> (a =/= (/) -> (a e. F -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))))
14	13	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x)) -> (a =/= (/) -> (a e. F -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))))
15		elfilnemp 14935	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F e. Fil /\ a e. F) -> a =/= (/))
16	14, 15	syl5com 63	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F e. Fil /\ a e. F) -> ((((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x)) -> (a e. F -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))))
17	16	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F e. Fil -> (a e. F -> ((((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x)) -> (a e. F -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))))))
18	17	com23 36	. . . . . . . . . . . 12 |- (F e. Fil -> ((((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x)) -> (a e. F -> (a e. F -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))))))
19	18	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . 11 |- ((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) -> ((((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x)) -> (a e. F -> (a e. F -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))))))
20	19	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> (a e. F -> (a e. F -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))))
21	20	com3l 38	. . . . . . . . 9 |- (a e. F -> (a e. F -> (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))))
22	21	pm2.43i 78	. . . . . . . 8 |- (a e. F -> (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> (a C_ Y -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))))
23	22	com3r 39	. . . . . . 7 |- (a C_ Y -> (a e. F -> (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))))
24	6, 23	sylbi 216	. . . . . 6 |- (a C_ U.F -> (a e. F -> (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))))
25	3, 24	mpcom 60	. . . . 5 |- (a e. F -> (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))
26	25	com12 14	. . . 4 |- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> (a e. F -> E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))
27	26	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> A.a e. F E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))
28	1, 2, 27	3jca 1050	. 2 |- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.a e. F E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x)))
29		lvsovso.2	. . 3 |- L1 = U.((J fLimf F)` F1)
30		lvsovso.3	. . 3 |- L2 = U.((J fLimf F)` F2)
31		lvsovso.4	. . 3 |- J = (topGen` ran (,))
32	4, 29, 30, 31	lvsovso2 15039	. 2 |- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.a e. F E.x e. a (F1` x) <_ (F2` x))) -> L1 <_ L2)
33	28, 32	syldan 516	1 |- (((F e. Fil /\ F1:Y-->RR /\ F2:Y-->RR) /\ (((J fLimf F)` F1) =/= (/) /\ ((J fLimf F)` F2) =/= (/) /\ A.x e. Y (F1` x) <_ (F2` x))) -> L1 <_ L2)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  ran crn 3987  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385   <_ cle 6448  (,)cioo 7524  topGenctg 8860  Filcfil 10264   fLimf cflimf 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-nei 8989  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-flim1 10295  df-filmap 10306  df-flimf 10316

Copyright terms: Public domain