lvolnle3at - Mathbox for Norm Megill

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Theorem lvolnle3at 33549

Description: A lattice plane (or lattice line or atom) cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lvolnle3at.l
lvolnle3at.j	$.\/$
lvolnle3at.a
lvolnle3at.v

**Assertion**
Ref	Expression
lvolnle3at	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Proof of Theorem lvolnle3at Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 754	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		eqid 2454	. . . . . 6
3		eqid 2454	. . . . . 6
4		eqid 2454	. . . . . 6
5		lvolnle3at.v	. . . . . 6
6	2, 3, 4, 5	islvol 33540	. . . . 5 $/\$
7	6	ad2antrr 725	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	1, 7	mpbid 210	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simprd 463	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		oveq1 6206	. . . . . . . . 9 $.\/$ $.\/$
11	10	oveq1d 6214	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
12	11	breq2d 4411	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
13	12	notbid 294	. . . . . 6 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
14		simp1l 1012	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simp3l 1016	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		simp21 1021	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17		simp22 1022	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		lvolnle3at.l	. . . . . . . . . . . . 13
19		lvolnle3at.j	. . . . . . . . . . . . 13 $.\/$
20		lvolnle3at.a	. . . . . . . . . . . . 13
21	18, 19, 20, 4	lplnnle2at 33508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
22	14, 15, 16, 17, 21	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
23	2, 4	lplnbase 33501	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	15, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		simp1r 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	2, 5	lvolbase 33545	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp3r 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	2, 29, 3	cvrlt 33238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
31	14, 24, 27, 28, 30	syl31anc 1222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		hlpos 33333	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	14, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	2, 19, 20	hlatjcl 33334	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $.\/$
35	14, 16, 17, 34	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
36	2, 18, 29	pltletr 15259	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
37	33, 24, 27, 35, 36	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
38	31, 37	mpand 675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
39	18, 29	pltle 15249	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
40	14, 15, 35, 39	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
41	38, 40	syld 44	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
42	22, 41	mtod 177	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
43	42	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
44		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
45		hllat 33331	. . . . . . . . . . . . . 14
46	14, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		simp23 1023	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	2, 20	atbase 33257	. . . . . . . . . . . . . 14
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	2, 18, 19	latleeqj2 15352	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
51	46, 49, 35, 50	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
52	51	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
53	44, 52	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
54	53	breq2d 4411	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
55	43, 54	mtbird 301	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
56	55	anassrs 648	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
57		simpl1l 1039	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
58		simpl3l 1043	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
59		simpl2 992	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
60		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
61	18, 19, 20, 4	lplni2 33504	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
62	57, 59, 60, 61	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
63	29, 4	lplnnlt 33532	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
64	57, 58, 62, 63	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
65	2, 19	latjcl 15339	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
66	46, 35, 49, 65	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
67	2, 18, 29	pltletr 15259	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
68	33, 24, 27, 66, 67	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
69	31, 68	mpand 675	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
70	69	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
71	64, 70	mtod 177	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
72	71	anassrs 648	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
73	56, 72	pm2.61dan 789	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
74		eqid 2454	. . . . . . . . . 10
75	74, 19, 20, 4	lplnnle2at 33508	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
76	14, 15, 17, 47, 75	syl13anc 1221	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
77	2, 19, 20	hlatjcl 33334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $.\/$
78	14, 17, 47, 77	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
79	2, 18, 29	pltletr 15259	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
80	33, 24, 27, 78, 79	syl13anc 1221	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
81	31, 80	mpand 675	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
82	74, 29	pltle 15249	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
83	14, 15, 78, 82	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
84	81, 83	syld 44	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
85	76, 84	mtod 177	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
86	19, 20	hlatjidm 33336	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$
87	14, 17, 86	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
88	87	oveq1d 6214	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
89	88	breq2d 4411	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
90	85, 89	mtbird 301	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
91	13, 73, 90	pm2.61ne 2766	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
92	91	3expia 1190	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
93	92	expd 436	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
94	93	rexlimdv 2944	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
95	9, 94	mpd 15	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 184 $/\$ wa 369 $/\$ w3a 965

wceq 1370

wcel 1758

wne 2647

wrex 2799 class class class wbr 4399

cfv 5525 (class class class)co 6199

cbs 14291

cple 14363

cpo 15228

cplt 15229

cjn 15232

clat 15333

ccvr 33230

catm 33231

chlt 33318

clpl 33459

clvol 33460

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4510 ax-sep 4520 ax-nul 4528 ax-pow 4577 ax-pr 4638 ax-un 6481

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2649 df-ral 2803 df-rex 2804 df-reu 2805 df-rab 2807 df-v 3078 df-sbc 3293 df-csb 3395 df-dif 3438 df-un 3440 df-in 3442 df-ss 3449 df-nul 3745 df-if 3899 df-pw 3969 df-sn 3985 df-pr 3987 df-op 3991 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4400 df-opab 4458 df-mpt 4459 df-id 4743 df-xp 4953 df-rel 4954 df-cnv 4955 df-co 4956 df-dm 4957 df-rn 4958 df-res 4959 df-ima 4960 df-iota 5488 df-fun 5527 df-fn 5528 df-f 5529 df-f1 5530 df-fo 5531 df-f1o 5532 df-fv 5533 df-riota 6160 df-ov 6202 df-oprab 6203 df-poset 15234 df-plt 15246 df-lub 15262 df-glb 15263 df-join 15264 df-meet 15265 df-p0 15327 df-lat 15334 df-clat 15396 df-oposet 33144 df-ol 33146 df-oml 33147 df-covers 33234 df-ats 33235 df-atl 33266 df-cvlat 33290 df-hlat 33319 df-llines 33465 df-lplanes 33466 df-lvols 33467

This theorem is referenced by: lvolnleat 33550 lvolnlelln 33551 lvolnlelpln 33552 3atnelvolN 33553 4atlem3 33563 dalem39 33678

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