Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoli2 Unicode version

Theorem lvoli2 30063
Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoli2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lvoli2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lvoli2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lvoli2.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvoli2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  V )

Proof of Theorem lvoli2
Dummy variables  q  p  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
2 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
3 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
4 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S ) )
5 neeq1 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
p  =/=  q  <->  P  =/=  q ) )
6 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  P  ->  (
p  .\/  q )  =  ( P  .\/  q ) )
76breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  ( R  .<_  ( p  .\/  q )  <->  R  .<_  ( P  .\/  q ) ) )
87notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  ( -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  <->  -.  R  .<_  ( P  .\/  q
) ) )
96oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  q )  .\/  R ) )
109breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  ( S  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  <->  S  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R ) ) )
1110notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  ( -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  <->  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  R
) ) )
125, 8, 113anbi123d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  <-> 
( P  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R ) ) ) )
139oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( p  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  S ) )
1413eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  S )  <->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )
1512, 14anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  <->  ( ( P  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  q )  .\/  R ) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( P 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) ) )
16 neeq2 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  ( P  =/=  q  <->  P  =/=  Q ) )
17 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  Q  ->  ( P  .\/  q )  =  ( P  .\/  Q
) )
1817breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  q )  <->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
1918notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  ( -.  R  .<_  ( P 
.\/  q )  <->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
2017oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  Q  ->  (
( P  .\/  q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
2120breq2d 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  ( S  .<_  ( ( P 
.\/  q )  .\/  R )  <->  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
2221notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  ( -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R )  <->  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
2316, 19, 223anbi123d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  (
( P  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R ) )  <-> 
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) ) )
2420oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( P  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S ) )
2524eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  S )  <->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )
2623, 25anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( P  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( P 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  <->  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S ) ) ) )
2715, 26rspc2ev 3020 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S ) ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )
281, 2, 3, 4, 27syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )
29283exp 1152 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) ) ) )
30 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  R  e.  A
)
31 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  S  e.  A
)
32 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R ) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) )
33 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  <->  R  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
3433notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  <->  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
) ) )
35 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R ) )
3635breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  <->  s  .<_  ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )
) )
3736notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  <->  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) ) )
3834, 373anbi23d 1257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  <-> 
( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) ) ) )
3935oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  s ) )
4039eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s )  <->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  s )
) )
4138, 40anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  s ) ) ) )
42 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  (
s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  <->  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) ) )
4342notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  <->  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) ) )
44433anbi3d 1260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  <-> 
( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) ) ) )
45 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( p  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  s )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  S ) )
4645eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  s )  <->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  S )
) )
4744, 46anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  s ) )  <->  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R ) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) ) )
4841, 47rspc2ev 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) )
4930, 31, 32, 48syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )
5049ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5150reximdv 2777 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  ( E. q  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5251reximdv 2777 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5352ex 424 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) ) )
5429, 53syldd 63 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) ) ) )
55543imp 1147 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) )
56 simp11 987 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
57 hllat 29846 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
5856, 57syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
59 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
60 lvoli2.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
61 lvoli2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6259, 60, 61hlatjcl 29849 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
63623ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
64 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
6559, 61atbase 29772 . . . . . 6  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
6664, 65syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
6759, 60latjcl 14434 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) )
6858, 63, 66, 67syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
69 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
7059, 61atbase 29772 . . . . 5  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
7169, 70syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
7259, 60latjcl 14434 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  S  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  e.  (
Base `  K )
)
7358, 68, 71, 72syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
74 lvoli2.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
75 lvoli2.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
7659, 74, 60, 61, 75islvol5 30061 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
7756, 73, 76syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
7855, 77mpbird 224 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   joincjn 14356   Latclat 14429   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LVolsclvol 29975
This theorem is referenced by:  islvol2aN  30074  4atlem3  30078  2lplnja  30101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982
  Copyright terms: Public domain W3C validator