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Theorem lvolcmp 32647
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolcmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lvolcmp.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolcmp  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem lvolcmp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1000 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
2 simp1 999 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lvolcmp.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( LVols `  K )
53, 4lvolbase 32608 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
653ad2ant2 1021 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2404 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
93, 7, 8, 4islvol4 32604 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  V  <->  E. z  e.  ( LPlanes `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
102, 6, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  V  <->  E. z  e.  ( LPlanes `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
111, 10mpbid 212 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  E. z  e.  (
LPlanes `  K ) z (  <o  `  K ) X )
12 simpr3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
13 hlpos 32396 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
14133ad2ant1 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  Poset )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
166adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
17 simpl3 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  V )
183, 4lvolbase 32608 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
20 simpr1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( LPlanes `  K ) )
213, 8lplnbase 32564 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( LPlanes `  K
)  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
23 simpr2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) X )
24 simpl1 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
25 lvolcmp.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
263, 25, 7cvrle 32309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  z
(  <o  `  K ) X )  ->  z  .<_  X )
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  X )
283, 25postr 15909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  Y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  -> 
z  .<_  Y ) )
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( ( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  z  .<_  Y ) )
3027, 12, 29mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  Y )
3125, 7, 8, 4lplncvrlvol2 32645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( LPlanes `  K )  /\  Y  e.  V )  /\  z  .<_  Y )  ->  z
(  <o  `  K ) Y )
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) Y )
333, 25, 7cvrcmp 32314 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( z
(  <o  `  K ) X  /\  z (  <o  `  K ) Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1250 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
3512, 34mpbid 212 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  =  Y )
36353exp2 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  -> 
( z (  <o  `  K ) X  -> 
( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
) ) )
3736rexlimdv 2896 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. z  e.  ( LPlanes `  K )
z (  <o  `  K
) X  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) ) )
3811, 37mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
)
393, 25posref 15906 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  X  .<_  X )
4014, 6, 39syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  .<_  X )
41 breq2 4401 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
4240, 41syl5ibcom 222 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
4338, 42impbid 192 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   E.wrex 2757   class class class wbr 4397   ` cfv 5571   Basecbs 14843   lecple 14918   Posetcpo 15895    <o ccvr 32293   HLchlt 32381   LPlanesclpl 32522   LVolsclvol 32523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-preset 15883  df-poset 15901  df-plt 15914  df-lub 15930  df-glb 15931  df-join 15932  df-meet 15933  df-p0 15995  df-lat 16002  df-clat 16064  df-oposet 32207  df-ol 32209  df-oml 32210  df-covers 32297  df-ats 32298  df-atl 32329  df-cvlat 32353  df-hlat 32382  df-llines 32528  df-lplanes 32529  df-lvols 32530
This theorem is referenced by:  lvolnltN  32648  2lplnja  32649
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