Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolcmp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lvolcmp 33253
 Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolcmp.l
lvolcmp.v
Assertion
Ref Expression
lvolcmp

Proof of Theorem lvolcmp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1031 . . . 4
2 simp1 1030 . . . . 5
3 eqid 2471 . . . . . . 7
4 lvolcmp.v . . . . . . 7
53, 4lvolbase 33214 . . . . . 6
653ad2ant2 1052 . . . . 5
7 eqid 2471 . . . . . 6
8 eqid 2471 . . . . . 6
93, 7, 8, 4islvol4 33210 . . . . 5
102, 6, 9syl2anc 673 . . . 4
111, 10mpbid 215 . . 3
12 simpr3 1038 . . . . . 6
13 hlpos 33002 . . . . . . . . 9
14133ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
1514adantr 472 . . . . . . 7
166adantr 472 . . . . . . 7
17 simpl3 1035 . . . . . . . 8
183, 4lvolbase 33214 . . . . . . . 8
1917, 18syl 17 . . . . . . 7
20 simpr1 1036 . . . . . . . 8
213, 8lplnbase 33170 . . . . . . . 8
2220, 21syl 17 . . . . . . 7
23 simpr2 1037 . . . . . . 7
24 simpl1 1033 . . . . . . . 8
25 lvolcmp.l . . . . . . . . . . 11
263, 25, 7cvrle 32915 . . . . . . . . . 10
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1295 . . . . . . . . 9
283, 25postr 16277 . . . . . . . . . 10
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1294 . . . . . . . . 9
3027, 12, 29mp2and 693 . . . . . . . 8
3125, 7, 8, 4lplncvrlvol2 33251 . . . . . . . 8
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1295 . . . . . . 7
333, 25, 7cvrcmp 32920 . . . . . . 7
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1310 . . . . . 6
3512, 34mpbid 215 . . . . 5
36353exp2 1251 . . . 4
3736rexlimdv 2870 . . 3
3811, 37mpd 15 . 2
393, 25posref 16274 . . . 4
4014, 6, 39syl2anc 673 . . 3
41 breq2 4399 . . 3
4240, 41syl5ibcom 228 . 2
4338, 42impbid 195 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757   class class class wbr 4395  cfv 5589  cbs 15199  cple 15275  cpo 16263   ccvr 32899  chlt 32987  clpl 33128  clvol 33129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136 This theorem is referenced by:  lvolnltN  33254  2lplnja  33255
 Copyright terms: Public domain W3C validator