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Theorem lvolcmp 33253
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolcmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lvolcmp.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolcmp  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem lvolcmp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1031 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
2 simp1 1030 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lvolcmp.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( LVols `  K )
53, 4lvolbase 33214 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
653ad2ant2 1052 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2471 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
8 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
93, 7, 8, 4islvol4 33210 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  V  <->  E. z  e.  ( LPlanes `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
102, 6, 9syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  V  <->  E. z  e.  ( LPlanes `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
111, 10mpbid 215 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  E. z  e.  (
LPlanes `  K ) z (  <o  `  K ) X )
12 simpr3 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
13 hlpos 33002 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
14133ad2ant1 1051 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  Poset )
1514adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
166adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
17 simpl3 1035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  V )
183, 4lvolbase 33214 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
20 simpr1 1036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( LPlanes `  K ) )
213, 8lplnbase 33170 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( LPlanes `  K
)  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
23 simpr2 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) X )
24 simpl1 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
25 lvolcmp.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
263, 25, 7cvrle 32915 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  z
(  <o  `  K ) X )  ->  z  .<_  X )
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  X )
283, 25postr 16277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  Y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  -> 
z  .<_  Y ) )
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( ( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  z  .<_  Y ) )
3027, 12, 29mp2and 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  Y )
3125, 7, 8, 4lplncvrlvol2 33251 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( LPlanes `  K )  /\  Y  e.  V )  /\  z  .<_  Y )  ->  z
(  <o  `  K ) Y )
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1295 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) Y )
333, 25, 7cvrcmp 32920 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( z
(  <o  `  K ) X  /\  z (  <o  `  K ) Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1310 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
3512, 34mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  =  Y )
36353exp2 1251 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  -> 
( z (  <o  `  K ) X  -> 
( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
) ) )
3736rexlimdv 2870 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. z  e.  ( LPlanes `  K )
z (  <o  `  K
) X  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) ) )
3811, 37mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
)
393, 25posref 16274 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  X  .<_  X )
4014, 6, 39syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  .<_  X )
41 breq2 4399 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
4240, 41syl5ibcom 228 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
4338, 42impbid 195 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   Basecbs 15199   lecple 15275   Posetcpo 16263    <o ccvr 32899   HLchlt 32987   LPlanesclpl 33128   LVolsclvol 33129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136
This theorem is referenced by:  lvolnltN  33254  2lplnja  33255
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