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Theorem lvolcmp 30099
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolcmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lvolcmp.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolcmp  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem lvolcmp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
2 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lvolcmp.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( LVols `  K )
53, 4lvolbase 30060 . . . . . 6  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
653ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2404 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
93, 7, 8, 4islvol4 30056 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  V  <->  E. z  e.  ( LPlanes `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
102, 6, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  V  <->  E. z  e.  ( LPlanes `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
111, 10mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  E. z  e.  (
LPlanes `  K ) z (  <o  `  K ) X )
12 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
13 hlpos 29848 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
14133ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  Poset )
1514adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
166adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
17 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  V )
183, 4lvolbase 30060 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
20 simpr1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( LPlanes `  K ) )
213, 8lplnbase 30016 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( LPlanes `  K
)  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
23 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) X )
24 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
25 lvolcmp.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
263, 25, 7cvrle 29761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  z
(  <o  `  K ) X )  ->  z  .<_  X )
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  X )
283, 25postr 14365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  Y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  -> 
z  .<_  Y ) )
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( ( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  z  .<_  Y ) )
3027, 12, 29mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  Y )
3125, 7, 8, 4lplncvrlvol2 30097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( LPlanes `  K )  /\  Y  e.  V )  /\  z  .<_  Y )  ->  z
(  <o  `  K ) Y )
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) Y )
333, 25, 7cvrcmp 29766 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( z
(  <o  `  K ) X  /\  z (  <o  `  K ) Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1202 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
3512, 34mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  =  Y )
36353exp2 1171 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( z  e.  (
LPlanes `  K )  -> 
( z (  <o  `  K ) X  -> 
( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
) ) )
3736rexlimdv 2789 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. z  e.  ( LPlanes `  K )
z (  <o  `  K
) X  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) ) )
3811, 37mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
)
393, 25posref 14363 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  X  .<_  X )
4014, 6, 39syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  .<_  X )
41 breq2 4176 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
4240, 41syl5ibcom 212 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
4338, 42impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   Basecbs 13424   lecple 13491   Posetcpo 14352    <o ccvr 29745   HLchlt 29833   LPlanesclpl 29974   LVolsclvol 29975
This theorem is referenced by:  lvolnltN  30100  2lplnja  30101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982
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