Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolbase Structured version   Unicode version

Theorem lvolbase 35445
Description: A 3-dim lattice volume is a lattice element. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lvolbase.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolbase  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem lvolbase
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3798 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  -.  V  =  (/) )
2 lvolbase.v . . . . 5  |-  V  =  ( LVols `  K )
32eqeq1i 2464 . . . 4  |-  ( V  =  (/)  <->  ( LVols `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 304 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  -.  ( LVols `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5866 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LVols `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 127 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  K  e.  _V )
7 lvolbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2457 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
9 eqid 2457 . . . 4  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
107, 8, 9, 2islvol 35440 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  E. x  e.  ( LPlanes `  K )
x (  <o  `  K
) X ) ) )
1110simprbda 623 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  B )
126, 11mpancom 669 1  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   Basecbs 14644    <o ccvr 35130   LPlanesclpl 35359   LVolsclvol 35360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-lvols 35367
This theorem is referenced by:  islvol2  35447  lvolnle3at  35449  lvolneatN  35455  lvolnelln  35456  lvolnelpln  35457  lplncvrlvol2  35482  lvolcmp  35484  2lplnja  35486
  Copyright terms: Public domain W3C validator