MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvsn0 Structured version   Unicode version

Theorem lvecvsn0 17296
Description: A scalar product is nonzero iff both of its factors are nonzero. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmul0or.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecmul0or.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecmul0or.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecmul0or.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecmul0or.o  |-  O  =  ( 0g `  F
)
lvecmul0or.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecmul0or.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecmul0or.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecmul0or.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lvecvsn0  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =/=  .0.  <->  ( A  =/=  O  /\  X  =/=  .0.  ) ) )

Proof of Theorem lvecvsn0
StepHypRef Expression
1 lvecmul0or.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lvecmul0or.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3 lvecmul0or.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 lvecmul0or.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
5 lvecmul0or.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  F
)
6 lvecmul0or.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
7 lvecmul0or.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 lvecmul0or.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
9 lvecmul0or.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lvecvs0or 17295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  .0.  <->  ( A  =  O  \/  X  =  .0.  )
) )
1110necon3abid 2694 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =/=  .0.  <->  -.  ( A  =  O  \/  X  =  .0.  ) ) )
12 neanior 2773 . 2  |-  ( ( A  =/=  O  /\  X  =/=  .0.  )  <->  -.  ( A  =  O  \/  X  =  .0.  )
)
1311, 12syl6bbr 263 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =/=  .0.  <->  ( A  =/=  O  /\  X  =/=  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276  Scalarcsca 14343   .scvsca 14344   0gc0g 14480   LVecclvec 17289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-invr 16870  df-drng 16940  df-lmod 17056  df-lvec 17290
This theorem is referenced by:  lspsneq  17309  lspfixed  17315  lindssnlvec  31127  dochkr1  35429  mapdpglem18  35640  hdmap14lem4a  35825
  Copyright terms: Public domain W3C validator