MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Structured version   Unicode version

Theorem lvecvscan2 17536
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 25654 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecmulcan2.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecmulcan2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecmulcan2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecmulcan2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecmulcan2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecmulcan2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecmulcan2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecmulcan2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecmulcan2.n  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
21neneqd 2664 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  =  .0.  )
3 biorf 405 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  .0.  ->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <->  ( X  =  .0.  \/  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) ) ) )
4 orcom 387 . . . . 5  |-  ( ( X  =  .0.  \/  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) )  <->  ( ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
)  \/  X  =  .0.  ) )
53, 4syl6bb 261 . . . 4  |-  ( -.  X  =  .0.  ->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <->  ( ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
)  \/  X  =  .0.  ) ) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  \/  X  =  .0.  ) ) )
7 lvecmulcan2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lvecmulcan2.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 lvecmulcan2.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
10 lvecmulcan2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
11 eqid 2462 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
12 lvecmulcan2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
13 lvecmulcan2.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
14 lveclmod 17530 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
169lmodfgrp 17299 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
18 lvecmulcan2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
19 lvecmulcan2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
20 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
2110, 20grpsubcl 15914 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A ( -g `  F ) B )  e.  K )
2217, 18, 19, 21syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( -g `  F ) B )  e.  K )
23 lvecmulcan2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 17532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X )  =  .0.  <->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  \/  X  =  .0.  ) ) )
25 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 17346 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( -g `  W
) ( B  .x.  X ) ) )
2726eqeq1d 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X )  =  .0.  <->  ( ( A  .x.  X
) ( -g `  W
) ( B  .x.  X ) )  =  .0.  ) )
286, 24, 273bitr2rd 282 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( B  .x.  X
) )  =  .0.  <->  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) ) )
297, 9, 8, 10lmodvscl 17307 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
3015, 18, 23, 29syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
317, 9, 8, 10lmodvscl 17307 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
3215, 19, 23, 31syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
337, 12, 25lmodsubeq0 17347 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( ( A  .x.  X ) ( -g `  W ) ( B 
.x.  X ) )  =  .0.  <->  ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X ) ) )
3415, 30, 32, 33syl3anc 1223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( B  .x.  X
) )  =  .0.  <->  ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X ) ) )
3510, 11, 20grpsubeq0 15920 . . 3  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
A  =  B ) )
3617, 18, 19, 35syl3anc 1223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
A  =  B ) )
3728, 34, 363bitr3d 283 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Basecbs 14481  Scalarcsca 14549   .scvsca 14550   0gc0g 14686   Grpcgrp 15718   -gcsg 15721   LModclmod 17290   LVecclvec 17526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-drng 17176  df-lmod 17292  df-lvec 17527
This theorem is referenced by:  lspsneu  17547  lvecindp  17562  lvecindp2  17563  lshpsmreu  33783  lshpkrlem5  33788  hgmapval1  36570  hgmapadd  36571  hgmapmul  36572  hgmaprnlem1N  36573  hgmap11  36579
  Copyright terms: Public domain W3C validator