MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Structured version   Unicode version

Theorem lvecvscan2 17171
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 24410 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecmulcan2.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecmulcan2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecmulcan2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecmulcan2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecmulcan2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecmulcan2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecmulcan2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecmulcan2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecmulcan2.n  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
21neneqd 2622 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  =  .0.  )
3 biorf 405 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  .0.  ->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <->  ( X  =  .0.  \/  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) ) ) )
4 orcom 387 . . . . 5  |-  ( ( X  =  .0.  \/  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) )  <->  ( ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
)  \/  X  =  .0.  ) )
53, 4syl6bb 261 . . . 4  |-  ( -.  X  =  .0.  ->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <->  ( ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
)  \/  X  =  .0.  ) ) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  \/  X  =  .0.  ) ) )
7 lvecmulcan2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lvecmulcan2.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 lvecmulcan2.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
10 lvecmulcan2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
11 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
12 lvecmulcan2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
13 lvecmulcan2.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
14 lveclmod 17165 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
169lmodfgrp 16937 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
18 lvecmulcan2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
19 lvecmulcan2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
20 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
2110, 20grpsubcl 15599 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A ( -g `  F ) B )  e.  K )
2217, 18, 19, 21syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( -g `  F ) B )  e.  K )
23 lvecmulcan2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 17167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X )  =  .0.  <->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  \/  X  =  .0.  ) ) )
25 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 16983 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( -g `  W
) ( B  .x.  X ) ) )
2726eqeq1d 2449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X )  =  .0.  <->  ( ( A  .x.  X
) ( -g `  W
) ( B  .x.  X ) )  =  .0.  ) )
286, 24, 273bitr2rd 282 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( B  .x.  X
) )  =  .0.  <->  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) ) )
297, 9, 8, 10lmodvscl 16945 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
3015, 18, 23, 29syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
317, 9, 8, 10lmodvscl 16945 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
3215, 19, 23, 31syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
337, 12, 25lmodsubeq0 16984 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( ( A  .x.  X ) ( -g `  W ) ( B 
.x.  X ) )  =  .0.  <->  ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X ) ) )
3415, 30, 32, 33syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( B  .x.  X
) )  =  .0.  <->  ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X ) ) )
3510, 11, 20grpsubeq0 15605 . . 3  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
A  =  B ) )
3617, 18, 19, 35syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
A  =  B ) )
3728, 34, 363bitr3d 283 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   -gcsg 15409   LModclmod 16928   LVecclvec 17161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lvec 17162
This theorem is referenced by:  lspsneu  17182  lvecindp  17197  lvecindp2  17198  lshpsmreu  32476  lshpkrlem5  32481  hgmapval1  35263  hgmapadd  35264  hgmapmul  35265  hgmaprnlem1N  35266  hgmap11  35272
  Copyright terms: Public domain W3C validator