MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan Structured version   Unicode version

Theorem lvecvscan 17552
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 25681 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecmulcan.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecmulcan.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecmulcan.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecmulcan.o  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
lvecmulcan.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecmulcan.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecmulcan.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecmulcan.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lvecmulcan.n  |-  ( ph  ->  A  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( A  .x.  Y )  <-> 
X  =  Y ) )

Proof of Theorem lvecvscan
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan.n . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  .0.  )
2 df-ne 2664 . . . 4  |-  ( A  =/=  .0.  <->  -.  A  =  .0.  )
3 biorf 405 . . . 4  |-  ( -.  A  =  .0.  ->  ( ( X ( -g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <->  ( A  =  .0.  \/  ( X ( -g `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) ) ) )
42, 3sylbi 195 . . 3  |-  ( A  =/=  .0.  ->  (
( X ( -g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <->  ( A  =  .0.  \/  ( X ( -g `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <-> 
( A  =  .0. 
\/  ( X (
-g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W ) ) ) )
6 lvecmulcan.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 17547 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
9 lvecmulcan.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lvecmulcan.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
11 lvecmulcan.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
1411, 12, 13lmodsubeq0 17364 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X ( -g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <->  X  =  Y ) )
158, 9, 10, 14syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <-> 
X  =  Y ) )
16 lvecmulcan.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lvecmulcan.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
18 lvecmulcan.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
19 lvecmulcan.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2011, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10lmodsubdi 17362 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X ( -g `  W
) Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( A  .x.  Y
) ) )
2120eqeq1d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  ( X ( -g `  W
) Y ) )  =  ( 0g `  W )  <->  ( ( A  .x.  X ) (
-g `  W )
( A  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
22 lvecmulcan.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
2311, 13lmodvsubcl 17350 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( -g `  W
) Y )  e.  V )
248, 9, 10, 23syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  W ) Y )  e.  V )
2511, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24lvecvs0or 17549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  ( X ( -g `  W
) Y ) )  =  ( 0g `  W )  <->  ( A  =  .0.  \/  ( X ( -g `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) ) ) )
2611, 17, 16, 18lmodvscl 17324 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
278, 19, 9, 26syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
2811, 17, 16, 18lmodvscl 17324 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
298, 19, 10, 28syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
3011, 12, 13lmodsubeq0 17364 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( A 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( ( A  .x.  X ) ( -g `  W ) ( A 
.x.  Y ) )  =  ( 0g `  W )  <->  ( A  .x.  X )  =  ( A  .x.  Y ) ) )
318, 27, 29, 30syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( A  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  W )  <-> 
( A  .x.  X
)  =  ( A 
.x.  Y ) ) )
3221, 25, 313bitr3d 283 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  =  .0.  \/  ( X ( -g `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) )  <->  ( A  .x.  X )  =  ( A  .x.  Y ) ) )
335, 15, 323bitr3rd 284 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( A  .x.  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694   -gcsg 15729   LModclmod 17307   LVecclvec 17543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-0g 14696  df-mnd 15731  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-sbg 15866  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-oppr 17068  df-dvdsr 17086  df-unit 17087  df-invr 17117  df-drng 17193  df-lmod 17309  df-lvec 17544
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator