Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecpsslmod Structured version   Unicode version

Theorem lvecpsslmod 31204
Description: The class of all (left) vector spaces is a proper subclass of the class of all (left) modules. Although it is obvious (and proven by lveclmod 17320) that every left vector space is a left module, there is (at least) one left module which is no left vector space, for example the zero module over the zero ring, see lmod1zrnlvec 31191. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lvecpsslmod  |-  LVec  C.  LMod

Proof of Theorem lvecpsslmod
StepHypRef Expression
1 lveclmod 17320 . . 3  |-  ( v  e.  LVec  ->  v  e. 
LMod )
21ssriv 3471 . 2  |-  LVec  C_  LMod
3 vex 3081 . . . 4  |-  i  e. 
_V
4 vex 3081 . . . 4  |-  z  e. 
_V
53, 4pm3.2i 455 . . 3  |-  ( i  e.  _V  /\  z  e.  _V )
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. }  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. }
7 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i
>. ,  i >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )
86, 7lmod1zr 31190 . . . 4  |-  ( ( i  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LMod )
96, 7lmod1zrnlvec 31191 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e/  LVec )
10 df-nel 2651 . . . . 5  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i
>. ,  i >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e/  LVec  <->  -.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LVec )
119, 10sylib 196 . . . 4  |-  ( ( i  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  -.  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LVec )
128, 11jca 532 . . 3  |-  ( ( i  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LMod  /\  -.  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i
>. ,  i >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LVec ) )
13 nelne1 2781 . . . 4  |-  ( ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LMod  /\  -.  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i
>. ,  i >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LVec )  ->  LMod  =/=  LVec )
1413necomd 2723 . . 3  |-  ( ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i >. ,  i
>. } >. ,  <. (Scalar ` 
ndx ) ,  { <. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LMod  /\  -.  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { i } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. i ,  i
>. ,  i >. }
>. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. } >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  { <. <. z ,  i >. ,  i
>. } >. } )  e. 
LVec )  ->  LVec  =/=  LMod )
155, 12, 14mp2b 10 . 2  |-  LVec  =/=  LMod
16 df-pss 3455 . 2  |-  ( LVec  C.  LMod  <->  ( LVec  C_  LMod  /\  LVec  =/= 
LMod ) )
172, 15, 16mpbir2an 911 1  |-  LVec  C.  LMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    e. wcel 1758    =/= wne 2648    e/ wnel 2649   _Vcvv 3078    u. cun 3437    C_ wss 3439    C. wpss 3440   {csn 3988   {ctp 3992   <.cop 3994   ` cfv 5529   ndxcnx 14293   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   .rcmulr 14362  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   LModclmod 17081   LVecclvec 17316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lvec 17317  df-nzr 17473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator