MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecdrng Structured version   Unicode version

Theorem lvecdrng 17534
Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
islvec.1  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lvecdrng  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )

Proof of Theorem lvecdrng
StepHypRef Expression
1 islvec.1 . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21islvec 17533 . 2  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing ) )
32simprbi 464 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  Scalarcsca 14554   DivRingcdr 17179   LModclmod 17295   LVecclvec 17531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5549  df-fv 5594  df-lvec 17532
This theorem is referenced by:  lsslvec  17536  lvecvs0or  17537  lssvs0or  17539  lvecinv  17542  lspsnvs  17543  lspsneq  17551  lspfixed  17557  lspexch  17558  lspsolv  17572  islbs2  17583  islbs3  17584  obsne0  18523  islinds4  18637  nvctvc  20943  lssnvc  20945  cvsunit  21343  cvsdivcl  21345  cphsubrg  21362  cphreccl  21363  cphqss  21370  tchclm  21410  ipcau2  21412  tchcph  21415  hlprlem  21542  ishl2  21545  lincreslvec3  32156  isldepslvec2  32159  lfl1  33867  lkrsc  33894  eqlkr3  33898  lkrlsp  33899  lkrshp  33902  lduallvec  33951  dochkr1  36275  dochkr1OLDN  36276  lcfl7lem  36296  lclkrlem2m  36316  lclkrlem2o  36318  lclkrlem2p  36319  lcfrlem1  36339  lcfrlem2  36340  lcfrlem3  36341  lcfrlem29  36368  lcfrlem31  36370  lcfrlem33  36372  mapdpglem17N  36485  mapdpglem18  36486  mapdpglem19  36487  mapdpglem21  36489  mapdpglem22  36490  hdmapip1  36716  hgmapvvlem1  36723  hgmapvvlem2  36724  hgmapvvlem3  36725
  Copyright terms: Public domain W3C validator