MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecdrng Structured version   Unicode version

Theorem lvecdrng 17301
Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
islvec.1  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lvecdrng  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )

Proof of Theorem lvecdrng
StepHypRef Expression
1 islvec.1 . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21islvec 17300 . 2  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing ) )
32simprbi 464 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5519  Scalarcsca 14352   DivRingcdr 16947   LModclmod 17063   LVecclvec 17298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-iota 5482  df-fv 5527  df-lvec 17299
This theorem is referenced by:  lsslvec  17303  lvecvs0or  17304  lssvs0or  17306  lvecinv  17309  lspsnvs  17310  lspsneq  17318  lspfixed  17324  lspexch  17325  lspsolv  17339  islbs2  17350  islbs3  17351  obsne0  18268  islinds4  18382  nvctvc  20405  lssnvc  20407  cvsunit  20805  cvsdivcl  20807  cphsubrg  20824  cphreccl  20825  cphqss  20832  tchclm  20872  ipcau2  20874  tchcph  20877  hlprlem  21004  ishl2  21007  lincreslvec3  31126  isldepslvec2  31129  lfl1  33024  lkrsc  33051  eqlkr3  33055  lkrlsp  33056  lkrshp  33059  lduallvec  33108  dochkr1  35432  dochkr1OLDN  35433  lcfl7lem  35453  lclkrlem2m  35473  lclkrlem2o  35475  lclkrlem2p  35476  lcfrlem1  35496  lcfrlem2  35497  lcfrlem3  35498  lcfrlem29  35525  lcfrlem31  35527  lcfrlem33  35529  mapdpglem17N  35642  mapdpglem18  35643  mapdpglem19  35644  mapdpglem21  35646  mapdpglem22  35647  hdmapip1  35873  hgmapvvlem1  35880  hgmapvvlem2  35881  hgmapvvlem3  35882
  Copyright terms: Public domain W3C validator