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Theorem lubval 15474
Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying  S  e.  dom  U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
lubval.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
lubval.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
lubval  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    B( y)    U( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubval.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
5 lubval.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  K  e.  V )
71, 2, 3, 4, 6lubfval 15468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) )
87fveq1d 5868 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( U `  S )  =  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) `  S ) )
9 lubval.p . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  dom  U )
111, 2, 3, 9, 6, 10lubeu 15473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  E! x  e.  B  ps )
12 raleq 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  x ) )
13 raleq 3058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  z ) )
1413imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1514ralbidv 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1612, 15anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1716, 9syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ps )
)
1817reubidv 3046 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  E! x  e.  B  ps )
)
1918elabg 3251 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  U  -> 
( S  e.  {
s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) }  <->  E! x  e.  B  ps )
)
2019adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) }  <-> 
E! x  e.  B  ps ) )
2111, 20mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } )
22 fvres 5880 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) }  ->  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) `  S ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  (
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) `  S ) )
24 lubval.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  C_  B )
26 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
271, 26eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2827elpw2 4611 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
2925, 28sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  ~P B )
3017riotabidv 6248 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
31 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
32 riotaex 6250 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5951 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
3429, 33syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B  ps ) )
358, 23, 343eqtrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( U `  S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
36 ndmfv 5890 . . . 4  |-  ( -.  S  e.  dom  U  ->  ( U `  S
)  =  (/) )
3736adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( U `  S
)  =  (/) )
381, 2, 3, 9, 5lubeldm 15471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  U  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
3938biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  S  e.  dom  U ) )
4024, 39mpand 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E! x  e.  B  ps  ->  S  e.  dom  U ) )
4140con3dimp 441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  ->  -.  E! x  e.  B  ps )
42 riotaund 6282 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  B  ps  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4341, 42syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4437, 43eqtr4d 2511 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
4535, 44pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E!wreu 2816   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    |` cres 5001   ` cfv 5588   iota_crio 6245   Basecbs 14493   lecple 14565   lubclub 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-lub 15464
This theorem is referenced by:  lubcl  15475  lubprop  15476  lubid  15480  joinval2  15499  lubun  15613  poslubd  15638  toslub  27415  lub0N  34203  glbconN  34390
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