Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lubval 16308
 Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying ) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b
lubval.l
lubval.u
lubval.p
lubval.k
lubval.s
Assertion
Ref Expression
lubval
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   ()   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5
2 lubval.l . . . . 5
3 lubval.u . . . . 5
4 biid 244 . . . . 5
5 lubval.k . . . . . 6
65adantr 472 . . . . 5
71, 2, 3, 4, 6lubfval 16302 . . . 4
87fveq1d 5881 . . 3
9 lubval.p . . . . . 6
10 simpr 468 . . . . . 6
111, 2, 3, 9, 6, 10lubeu 16307 . . . . 5
12 raleq 2973 . . . . . . . . . 10
13 raleq 2973 . . . . . . . . . . . 12
1413imbi1d 324 . . . . . . . . . . 11
1514ralbidv 2829 . . . . . . . . . 10
1612, 15anbi12d 725 . . . . . . . . 9
1716, 9syl6bbr 271 . . . . . . . 8
1817reubidv 2961 . . . . . . 7
1918elabg 3174 . . . . . 6
2019adantl 473 . . . . 5
2111, 20mpbird 240 . . . 4
22 fvres 5893 . . . 4
2321, 22syl 17 . . 3
24 lubval.s . . . . . 6
2524adantr 472 . . . . 5
26 fvex 5889 . . . . . . 7
271, 26eqeltri 2545 . . . . . 6
2827elpw2 4565 . . . . 5
2925, 28sylibr 217 . . . 4
3017riotabidv 6272 . . . . 5
31 eqid 2471 . . . . 5
32 riotaex 6274 . . . . 5
3330, 31, 32fvmpt 5963 . . . 4
3429, 33syl 17 . . 3
358, 23, 343eqtrd 2509 . 2
36 ndmfv 5903 . . . 4
3736adantl 473 . . 3
381, 2, 3, 9, 5lubeldm 16305 . . . . . . 7
3938biimprd 231 . . . . . 6
4024, 39mpand 689 . . . . 5
4140con3dimp 448 . . . 4
42 riotaund 6305 . . . 4
4341, 42syl 17 . . 3
4437, 43eqtr4d 2508 . 2
4535, 44pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wral 2756  wreu 2758  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cpw 3942   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   cres 4841  cfv 5589  crio 6269  cbs 15199  cple 15275  club 16265 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-lub 16298 This theorem is referenced by:  lubcl  16309  lubprop  16310  lubid  16314  joinval2  16333  lubun  16447  poslubd  16472  toslub  28504  lub0N  32826  glbconN  33013
 Copyright terms: Public domain W3C validator