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Theorem lubval 16166
Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying  S  e.  dom  U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
lubval.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
lubval.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
lubval  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    B( y)    U( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubval.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 239 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
5 lubval.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
65adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  K  e.  V )
71, 2, 3, 4, 6lubfval 16160 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) )
87fveq1d 5820 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( U `  S )  =  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) `  S ) )
9 lubval.p . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
10 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  dom  U )
111, 2, 3, 9, 6, 10lubeu 16165 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  E! x  e.  B  ps )
12 raleq 2958 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  x ) )
13 raleq 2958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  z ) )
1413imbi1d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1514ralbidv 2798 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1612, 15anbi12d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1716, 9syl6bbr 266 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ps )
)
1817reubidv 2946 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  E! x  e.  B  ps )
)
1918elabg 3154 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  U  -> 
( S  e.  {
s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) }  <->  E! x  e.  B  ps )
)
2019adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) }  <-> 
E! x  e.  B  ps ) )
2111, 20mpbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } )
22 fvres 5832 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) }  ->  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) `  S ) )
2321, 22syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  (
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) `  S ) )
24 lubval.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2524adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  C_  B )
26 fvex 5828 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
271, 26eqeltri 2496 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2827elpw2 4524 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
2925, 28sylibr 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  ~P B )
3017riotabidv 6206 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
31 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
32 riotaex 6208 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5901 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
3429, 33syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B  ps ) )
358, 23, 343eqtrd 2460 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( U `  S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
36 ndmfv 5842 . . . 4  |-  ( -.  S  e.  dom  U  ->  ( U `  S
)  =  (/) )
3736adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( U `  S
)  =  (/) )
381, 2, 3, 9, 5lubeldm 16163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  U  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
3938biimprd 226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  S  e.  dom  U ) )
4024, 39mpand 679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E! x  e.  B  ps  ->  S  e.  dom  U ) )
4140con3dimp 442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  ->  -.  E! x  e.  B  ps )
42 riotaund 6239 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  B  ps  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4341, 42syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4437, 43eqtr4d 2459 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
4535, 44pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2408   A.wral 2708   E!wreu 2710   _Vcvv 3016    C_ wss 3372   (/)c0 3697   ~Pcpw 3917   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418   dom cdm 4789    |` cres 4791   ` cfv 5537   iota_crio 6203   Basecbs 15057   lecple 15133   lubclub 16123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-lub 16156
This theorem is referenced by:  lubcl  16167  lubprop  16168  lubid  16172  joinval2  16191  lubun  16305  poslubd  16330  toslub  28373  lub0N  32661  glbconN  32848
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