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Theorem lubval 15173
Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying  S  e.  dom  U) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
lubval.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
lubval.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
lubval  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    ps( x, y, z)    B( y)    U( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)    V( x, y, z)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubval.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
5 lubval.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  K  e.  V )
71, 2, 3, 4, 6lubfval 15167 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) )
87fveq1d 5712 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( U `  S )  =  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) `  S ) )
9 lubval.p . . . . . 6  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  dom  U )
111, 2, 3, 9, 6, 10lubeu 15172 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  E! x  e.  B  ps )
12 raleq 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  x ) )
13 raleq 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  z ) )
1413imbi1d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1514ralbidv 2754 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1612, 15anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1716, 9syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ps )
)
1817reubidv 2924 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  E! x  e.  B  ps )
)
1918elabg 3126 . . . . . 6  |-  ( S  e.  dom  U  -> 
( S  e.  {
s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) }  <->  E! x  e.  B  ps )
)
2019adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) }  <-> 
E! x  e.  B  ps ) )
2111, 20mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } )
22 fvres 5723 . . . 4  |-  ( S  e.  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) }  ->  ( ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) `  S ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  (
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } ) `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) `  S ) )
24 lubval.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  C_  B )
26 fvex 5720 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
271, 26eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2827elpw2 4475 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
2925, 28sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  S  e.  ~P B )
3017riotabidv 6073 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
31 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
32 riotaex 6075 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5793 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
3429, 33syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B  ps ) )
358, 23, 343eqtrd 2479 . 2  |-  ( (
ph  /\  S  e.  dom  U )  ->  ( U `  S )  =  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
36 ndmfv 5733 . . . 4  |-  ( -.  S  e.  dom  U  ->  ( U `  S
)  =  (/) )
3736adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( U `  S
)  =  (/) )
381, 2, 3, 9, 5lubeldm 15170 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e.  dom  U  <-> 
( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps ) ) )
3938biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  B  /\  E! x  e.  B  ps )  ->  S  e.  dom  U ) )
4024, 39mpand 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E! x  e.  B  ps  ->  S  e.  dom  U ) )
4140con3dimp 441 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  ->  -.  E! x  e.  B  ps )
42 riotaund 6107 . . . 4  |-  ( -.  E! x  e.  B  ps  ->  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4341, 42syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( iota_ x  e.  B  ps )  =  (/) )
4437, 43eqtr4d 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  S  e.  dom  U )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
4535, 44pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2734   E!wreu 2736   _Vcvv 2991    C_ wss 3347   (/)c0 3656   ~Pcpw 3879   class class class wbr 4311    e. cmpt 4369   dom cdm 4859    |` cres 4861   ` cfv 5437   iota_crio 6070   Basecbs 14193   lecple 14264   lubclub 15131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-lub 15163
This theorem is referenced by:  lubcl  15174  lubprop  15175  lubid  15179  joinval2  15198  lubun  15312  poslubd  15337  toslub  26148  lub0N  32857  glbconN  33044
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