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Theorem lubun 16313
Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lubun.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubun.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lubun.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubun  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) )

Proof of Theorem lubun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubun.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2420 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 lubun.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 239 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) )
5 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  K  e.  CLat )
6 unss 3637 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  T  C_  B )  <->  ( S  u.  T )  C_  B
)
76biimpi 197 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  T  C_  B )  -> 
( S  u.  T
)  C_  B )
873adant1 1023 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( S  u.  T )  C_  B )
91, 2, 3, 4, 5, 8lubval 16174 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
10 clatl 16306 . . . . 5  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
11103ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  K  e.  Lat )
121, 3clatlubcl 16302 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
13123adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
141, 3clatlubcl 16302 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  T )  e.  B )
15143adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  T )  e.  B )
16 lubun.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
171, 16latjcl 16241 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B )
1811, 13, 15, 17syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B )
19 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
2019, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
21 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
22 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
2321, 22sseldd 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
2419, 21, 12syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
25 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  T  C_  B )
2619, 25, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
2720, 24, 26, 17syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
281, 2, 3lubel 16312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  y  e.  S  /\  S  C_  B )  ->  y
( le `  K
) ( U `  S ) )
2919, 22, 21, 28syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y ( le `  K ) ( U `
 S ) )
301, 2, 16latlej1 16250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  ( U `  S )
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
3120, 24, 26, 30syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  S
) ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
321, 2, 20, 23, 24, 27, 29, 31lattrd 16248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
3332ralrimiva 2837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  S  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
3411adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  K  e.  Lat )
35 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  T  C_  B )
36 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  T )
3735, 36sseldd 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  B )
38 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  K  e.  CLat )
3938, 35, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
4018adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
411, 2, 3lubel 16312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  y  e.  T  /\  T  C_  B )  ->  y
( le `  K
) ( U `  T ) )
4238, 36, 35, 41syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y ( le `  K ) ( U `
 T ) )
43 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  S  C_  B )
4438, 43, 12syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
451, 2, 16latlej2 16251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  ( U `  T )
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
4634, 44, 39, 45syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  T
) ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
471, 2, 34, 37, 39, 40, 42, 46lattrd 16248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
4847ralrimiva 2837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  T  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
49 ralunb 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  /\  A. y  e.  T  y ( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5033, 48, 49sylanbrc 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
51 breq2 4421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( y
( le `  K
) z  <->  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5251ralbidv 2862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  <->  A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) )
53 breq2 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( x
( le `  K
) z  <->  x ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5452, 53imbi12d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <-> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5554rspcv 3175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5618, 55syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5750, 56mpid 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  x ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5857imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
5958ad2ant2rl 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
60 ralunb 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x ) )
61 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
62 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  S  C_  B )
63 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
641, 2, 3lubl 16310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  -> 
( U `  S
) ( le `  K ) x ) )
6561, 62, 63, 64syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le
`  K ) x  ->  ( U `  S ) ( le
`  K ) x ) )
66 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  T  C_  B )
671, 2, 3lubl 16310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le `  K ) x  -> 
( U `  T
) ( le `  K ) x ) )
6861, 66, 63, 67syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x  ->  ( U `  T ) ( le
`  K ) x ) )
6965, 68anim12d 565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )
( le `  K
) x  /\  ( U `  T )
( le `  K
) x ) ) )
7061, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
7113adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
7215adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
731, 2, 16latjle12 16252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T
)  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
( U `  S
) ( le `  K ) x  /\  ( U `  T ) ( le `  K
) x )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7470, 71, 72, 63, 73syl13anc 1266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( ( U `
 S ) ( le `  K ) x  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) x )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7569, 74sylibd 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7660, 75syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) x ) )
7776imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )
7877adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) x )
7918adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
801, 2latasymb 16244 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )  ->  ( ( x ( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  /\  ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) x )  <->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ) )
8170, 63, 79, 80syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( x ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )  <->  x  =  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
8281adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  -> 
( ( x ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )  <->  x  =  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
8359, 78, 82mpbi2and 929 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  ->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) )
8483ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) )  ->  x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ) )
85 elun 3603 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( S  u.  T )  <->  ( y  e.  S  \/  y  e.  T ) )
8632, 47jaodan 792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  ( y  e.  S  \/  y  e.  T
) )  ->  y
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
8785, 86sylan2b 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  ( S  u.  T ) )  -> 
y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
8887ralrimiva 2837 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
89 ralunb 3644 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z ) )
90 simpl1 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
91 simpl2 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  S  C_  B )
92 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
931, 2, 3lubl 16310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  -> 
( U `  S
) ( le `  K ) z ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le
`  K ) z  ->  ( U `  S ) ( le
`  K ) z ) )
95 simpl3 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  T  C_  B )
961, 2, 3lubl 16310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le `  K ) z  -> 
( U `  T
) ( le `  K ) z ) )
9790, 95, 92, 96syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z  ->  ( U `  T ) ( le
`  K ) z ) )
9894, 97anim12d 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z )  ->  ( ( U `  S )
( le `  K
) z  /\  ( U `  T )
( le `  K
) z ) ) )
9989, 98syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S ) ( le `  K ) z  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) z ) ) )
10090, 10syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
10190, 91, 12syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
10290, 95, 14syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
1031, 2, 16latjle12 16252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T
)  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
( U `  S
) ( le `  K ) z  /\  ( U `  T ) ( le `  K
) z )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
104100, 101, 102, 92, 103syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( U `
 S ) ( le `  K ) z  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) z )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
10599, 104sylibd 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) z ) )
106105ralrimiva 2837 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
107 breq2 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( y
( le `  K
) x  <->  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
108107ralbidv 2862 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  <->  A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) )
109 breq1 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( x
( le `  K
) z  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
110109imbi2d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <-> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) z ) ) )
111110ralbidv 2862 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) ) )
112108, 111anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) ) ) )
113112biimprcd 228 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) )  ->  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
11488, 106, 113syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  (
x  =  ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) )  -> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
115114adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  =  ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  -> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
11684, 115impbid 193 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) )  <->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ) )
11718, 116riota5 6283 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  =  ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
1189, 117eqtrd 2461 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773    u. cun 3431    C_ wss 3433   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   Basecbs 15073   lecple 15149   lubclub 16131   joincjn 16133   Latclat 16235   CLatccla 16297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-preset 16117  df-poset 16135  df-lub 16164  df-glb 16165  df-join 16166  df-meet 16167  df-lat 16236  df-clat 16298
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