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Theorem lubun 15613
Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lubun.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubun.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lubun.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubun  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) )

Proof of Theorem lubun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubun.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 lubun.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 236 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) )
5 simp1 996 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  K  e.  CLat )
6 unss 3678 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  T  C_  B )  <->  ( S  u.  T )  C_  B
)
76biimpi 194 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  T  C_  B )  -> 
( S  u.  T
)  C_  B )
873adant1 1014 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( S  u.  T )  C_  B )
91, 2, 3, 4, 5, 8lubval 15474 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
10 clatl 15606 . . . . 5  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
11103ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  K  e.  Lat )
121, 3clatlubcl 15602 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
13123adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
141, 3clatlubcl 15602 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  T )  e.  B )
15143adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  T )  e.  B )
16 lubun.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
171, 16latjcl 15541 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B )
1811, 13, 15, 17syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B )
19 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
2019, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
21 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
2321, 22sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
2419, 21, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
25 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  T  C_  B )
2619, 25, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
2720, 24, 26, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
281, 2, 3lubel 15612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  y  e.  S  /\  S  C_  B )  ->  y
( le `  K
) ( U `  S ) )
2919, 22, 21, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y ( le `  K ) ( U `
 S ) )
301, 2, 16latlej1 15550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  ( U `  S )
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
3120, 24, 26, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  S
) ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
321, 2, 20, 23, 24, 27, 29, 31lattrd 15548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
3332ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  S  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
3411adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  K  e.  Lat )
35 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  T  C_  B )
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  T )
3735, 36sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  B )
38 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  K  e.  CLat )
3938, 35, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
4018adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
411, 2, 3lubel 15612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  y  e.  T  /\  T  C_  B )  ->  y
( le `  K
) ( U `  T ) )
4238, 36, 35, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y ( le `  K ) ( U `
 T ) )
43 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  S  C_  B )
4438, 43, 12syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
451, 2, 16latlej2 15551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  ( U `  T )
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
4634, 44, 39, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  T
) ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
471, 2, 34, 37, 39, 40, 42, 46lattrd 15548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
4847ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  T  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
49 ralunb 3685 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  /\  A. y  e.  T  y ( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5033, 48, 49sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
51 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( y
( le `  K
) z  <->  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5251ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  <->  A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) )
53 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( x
( le `  K
) z  <->  x ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5452, 53imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <-> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5554rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5618, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5750, 56mpid 41 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  x ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5857imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
5958ad2ant2rl 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
60 ralunb 3685 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x ) )
61 simpl1 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
62 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  S  C_  B )
63 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
641, 2, 3lubl 15610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  -> 
( U `  S
) ( le `  K ) x ) )
6561, 62, 63, 64syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le
`  K ) x  ->  ( U `  S ) ( le
`  K ) x ) )
66 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  T  C_  B )
671, 2, 3lubl 15610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le `  K ) x  -> 
( U `  T
) ( le `  K ) x ) )
6861, 66, 63, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x  ->  ( U `  T ) ( le
`  K ) x ) )
6965, 68anim12d 563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )
( le `  K
) x  /\  ( U `  T )
( le `  K
) x ) ) )
7061, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
7113adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
7215adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
731, 2, 16latjle12 15552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T
)  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
( U `  S
) ( le `  K ) x  /\  ( U `  T ) ( le `  K
) x )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7470, 71, 72, 63, 73syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( ( U `
 S ) ( le `  K ) x  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) x )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7569, 74sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7660, 75syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) x ) )
7776imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )
7877adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) x )
7918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
801, 2latasymb 15544 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )  ->  ( ( x ( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  /\  ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) x )  <->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ) )
8170, 63, 79, 80syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( x ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )  <->  x  =  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
8281adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  -> 
( ( x ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )  <->  x  =  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
8359, 78, 82mpbi2and 919 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  ->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) )
8483ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) )  ->  x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ) )
85 elun 3645 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( S  u.  T )  <->  ( y  e.  S  \/  y  e.  T ) )
8632, 47jaodan 783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  ( y  e.  S  \/  y  e.  T
) )  ->  y
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
8785, 86sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  ( S  u.  T ) )  -> 
y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
8887ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
89 ralunb 3685 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z ) )
90 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
91 simpl2 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  S  C_  B )
92 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
931, 2, 3lubl 15610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  -> 
( U `  S
) ( le `  K ) z ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le
`  K ) z  ->  ( U `  S ) ( le
`  K ) z ) )
95 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  T  C_  B )
961, 2, 3lubl 15610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le `  K ) z  -> 
( U `  T
) ( le `  K ) z ) )
9790, 95, 92, 96syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z  ->  ( U `  T ) ( le
`  K ) z ) )
9894, 97anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z )  ->  ( ( U `  S )
( le `  K
) z  /\  ( U `  T )
( le `  K
) z ) ) )
9989, 98syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S ) ( le `  K ) z  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) z ) ) )
10090, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
10190, 91, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
10290, 95, 14syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
1031, 2, 16latjle12 15552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T
)  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
( U `  S
) ( le `  K ) z  /\  ( U `  T ) ( le `  K
) z )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
104100, 101, 102, 92, 103syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( U `
 S ) ( le `  K ) z  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) z )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
10599, 104sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) z ) )
106105ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
107 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( y
( le `  K
) x  <->  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
108107ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  <->  A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) )
109 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( x
( le `  K
) z  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
110109imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <-> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) z ) ) )
111110ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) ) )
112108, 111anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) ) ) )
113112biimprcd 225 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) )  ->  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
11488, 106, 113syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  (
x  =  ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) )  -> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
115114adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  =  ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  -> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
11684, 115impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) )  <->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ) )
11718, 116riota5 6272 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  =  ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
1189, 117eqtrd 2508 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    u. cun 3474    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   iota_crio 6245  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   lecple 14565   lubclub 15432   joincjn 15434   Latclat 15535   CLatccla 15597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-poset 15436  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-lat 15536  df-clat 15598
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