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Theorem lubprop 16183
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubprop.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubprop.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubprop.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubprop.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
lubprop.s  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
Assertion
Ref Expression
lubprop  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `
 S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y,  .<_    y, U, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( y)    .<_ ( z)    V( y, z)

Proof of Theorem lubprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubprop.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubprop.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubprop.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 239 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
5 lubprop.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
6 lubprop.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
71, 2, 3, 5, 6lubelss 16179 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
81, 2, 3, 4, 5, 7lubval 16181 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
98eqcomd 2437 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) )
101, 3, 5, 6lubcl 16182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 6lubeu 16180 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
12 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  ( U `  S ) ) )
1312ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S ) ) )
14 breq1 4429 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
x  .<_  z  <->  ( U `  S )  .<_  z ) )
1514imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
1615ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
1713, 16anbi12d 715 . . . 4  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S
)  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) ) )
1817riota2 6289 . . 3  |-  ( ( ( U `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S
)  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) ) )
1910, 11, 18syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) ) )
209, 19mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `
 S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E!wreu 2784   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ` cfv 5601   iota_crio 6266   Basecbs 15084   lecple 15159   lubclub 16138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-lub 16171
This theorem is referenced by:  luble  16184  lublem  16315
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