Theorem lubprop 15152

Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubprop.b	|- B = ( Base ` K )
lubprop.l	|- .<_ = ( le ` K )
lubprop.u	|- U = ( lub ` K )
lubprop.k	|- ( ph -> K e. V )
lubprop.s	|- ( ph -> S e. dom U )

Assertion

Ref	Expression
lubprop	|- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   y, z, K   y, S, z   y, .<_   y, U, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( y)   .<_ ( z)   V( y, z)

Proof of Theorem lubprop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubprop.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		lubprop.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3		lubprop.u	. . . 4 |- U = ( lub ` K )
4		biid 236	. . . 4 |- ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
5		lubprop.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
6		lubprop.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. dom U )
7	1, 2, 3, 5, 6	lubelss 15148	. . . 4 |- ( ph -> S C_ B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	lubval 15150	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
9	8	eqcomd 2446	. 2 |- ( ph -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) )
10	1, 3, 5, 6	lubcl 15151	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6	lubeu 15149	. . 3 |- ( ph -> E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
12		breq2 4293	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( y .<_ x <-> y .<_ ( U ` S ) ) )
13	12	ralbidv 2733	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. y e. S y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ ( U ` S ) ) )
14		breq1 4292	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` S ) -> ( x .<_ z <-> ( U ` S ) .<_ z ) )
15	14	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
16	15	ralbidv 2733	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
17	13, 16	anbi12d 705	. . . 4 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) )
18	17	riota2 6073	. . 3 |- ( ( ( U ` S ) e. B /\ E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
19	10, 11, 18	syl2anc 656	. 2 |- ( ph -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
20	9, 19	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E!wreu 2715   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ` cfv 5415   iota_crio 6048   Basecbs 14170   lecple 14241   lubclub 15108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-lub 15140

This theorem is referenced by:  luble  15153  lublem  15284