Theorem lubprop 16183

Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubprop.b	|- B = ( Base ` K )
lubprop.l	|- .<_ = ( le ` K )
lubprop.u	|- U = ( lub ` K )
lubprop.k	|- ( ph -> K e. V )
lubprop.s	|- ( ph -> S e. dom U )

Assertion

Ref	Expression
lubprop	|- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   y, z, K   y, S, z   y, .<_   y, U, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( y)   .<_ ( z)   V( y, z)

Proof of Theorem lubprop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubprop.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		lubprop.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3		lubprop.u	. . . 4 |- U = ( lub ` K )
4		biid 239	. . . 4 |- ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
5		lubprop.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
6		lubprop.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. dom U )
7	1, 2, 3, 5, 6	lubelss 16179	. . . 4 |- ( ph -> S C_ B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	lubval 16181	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
9	8	eqcomd 2437	. 2 |- ( ph -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) )
10	1, 3, 5, 6	lubcl 16182	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6	lubeu 16180	. . 3 |- ( ph -> E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
12		breq2 4430	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( y .<_ x <-> y .<_ ( U ` S ) ) )
13	12	ralbidv 2871	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. y e. S y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ ( U ` S ) ) )
14		breq1 4429	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` S ) -> ( x .<_ z <-> ( U ` S ) .<_ z ) )
15	14	imbi2d 317	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
16	15	ralbidv 2871	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
17	13, 16	anbi12d 715	. . . 4 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) )
18	17	riota2 6289	. . 3 |- ( ( ( U ` S ) e. B /\ E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
19	10, 11, 18	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
20	9, 19	mpbird 235	1 |- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E!wreu 2784   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ` cfv 5601   iota_crio 6266   Basecbs 15084   lecple 15159   lubclub 16138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-lub 16171

This theorem is referenced by:  luble  16184  lublem  16315