Theorem lubprop 15473

Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubprop.b	|- B = ( Base ` K )
lubprop.l	|- .<_ = ( le ` K )
lubprop.u	|- U = ( lub ` K )
lubprop.k	|- ( ph -> K e. V )
lubprop.s	|- ( ph -> S e. dom U )

Assertion

Ref	Expression
lubprop	|- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   y, z, K   y, S, z   y, .<_   y, U, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( y)   .<_ ( z)   V( y, z)

Proof of Theorem lubprop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubprop.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		lubprop.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3		lubprop.u	. . . 4 |- U = ( lub ` K )
4		biid 236	. . . 4 |- ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
5		lubprop.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
6		lubprop.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. dom U )
7	1, 2, 3, 5, 6	lubelss 15469	. . . 4 |- ( ph -> S C_ B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	lubval 15471	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
9	8	eqcomd 2475	. 2 |- ( ph -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) )
10	1, 3, 5, 6	lubcl 15472	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6	lubeu 15470	. . 3 |- ( ph -> E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
12		breq2 4451	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( y .<_ x <-> y .<_ ( U ` S ) ) )
13	12	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. y e. S y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ ( U ` S ) ) )
14		breq1 4450	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` S ) -> ( x .<_ z <-> ( U ` S ) .<_ z ) )
15	14	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
16	15	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
17	13, 16	anbi12d 710	. . . 4 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) )
18	17	riota2 6268	. . 3 |- ( ( ( U ` S ) e. B /\ E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
19	10, 11, 18	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
20	9, 19	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E!wreu 2816   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588   iota_crio 6244   Basecbs 14490   lecple 14562   lubclub 15429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-lub 15461

This theorem is referenced by:  luble  15474  lublem  15605