Theorem lubprop 14392

Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubval.b	|- B = ( Base ` K )
lubval.l	|- .<_ = ( le ` K )
lubval.u	|- U = ( lub ` K )

Assertion

Ref	Expression
lubprop	|- ( ( K e. A /\ S C_ B /\ ( U ` S ) e. B ) -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   y, z, K   y, S, z   y, U, z

Allowed substitution hints:   A( y, z)   B( y)   .<_ ( y, z)

Proof of Theorem lubprop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubval.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		lubval.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		lubval.u	. . . . 5 |- U = ( lub ` K )
4	1, 2, 3	lubval 14391	. . . 4 |- ( ( K e. A /\ S C_ B ) -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
5	4	3adant3 977	. . 3 |- ( ( K e. A /\ S C_ B /\ ( U ` S ) e. B ) -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
6	5	eqcomd 2409	. 2 |- ( ( K e. A /\ S C_ B /\ ( U ` S ) e. B ) -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) )
7		simp3 959	. . 3 |- ( ( K e. A /\ S C_ B /\ ( U ` S ) e. B ) -> ( U ` S ) e. B )
8	5, 7	eqeltrrd 2479	. . . 4 |- ( ( K e. A /\ S C_ B /\ ( U ` S ) e. B ) -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) e. B )
9		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) e. _V
10	1, 9	eqeltri 2474	. . . . 5 |- B e. _V
11	10	riotaclb 6549	. . . 4 |- ( E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) e. B )
12	8, 11	sylibr 204	. . 3 |- ( ( K e. A /\ S C_ B /\ ( U ` S ) e. B ) -> E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
13		breq2 4176	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( y .<_ x <-> y .<_ ( U ` S ) ) )
14	13	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. y e. S y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ ( U ` S ) ) )
15		breq1 4175	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` S ) -> ( x .<_ z <-> ( U ` S ) .<_ z ) )
16	15	imbi2d 308	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
17	16	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
18	14, 17	anbi12d 692	. . . 4 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) )
19	18	riota2 6531	. . 3 |- ( ( ( U ` S ) e. B /\ E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
20	7, 12, 19	syl2anc 643	. 2 |- ( ( K e. A /\ S C_ B /\ ( U ` S ) e. B ) -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
21	6, 20	mpbird 224	1 |- ( ( K e. A /\ S C_ B /\ ( U ` S ) e. B ) -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E!wreu 2668   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   lubclub 14354

This theorem is referenced by:  luble  14393  lublem  14500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-undef 6502  df-riota 6508  df-lub 14386