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Theorem lubprop 15152
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubprop.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubprop.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubprop.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubprop.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
lubprop.s  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
Assertion
Ref Expression
lubprop  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `
 S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y,  .<_    y, U, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( y)    .<_ ( z)    V( y, z)

Proof of Theorem lubprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubprop.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubprop.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubprop.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 236 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
5 lubprop.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
6 lubprop.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  dom  U
)
71, 2, 3, 5, 6lubelss 15148 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
81, 2, 3, 4, 5, 7lubval 15150 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
98eqcomd 2446 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) )
101, 3, 5, 6lubcl 15151 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 6lubeu 15149 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
12 breq2 4293 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  ( U `  S ) ) )
1312ralbidv 2733 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S ) ) )
14 breq1 4292 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
x  .<_  z  <->  ( U `  S )  .<_  z ) )
1514imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
1615ralbidv 2733 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
1713, 16anbi12d 705 . . . 4  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S
)  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) ) )
1817riota2 6073 . . 3  |-  ( ( ( U `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S
)  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) ) )
1910, 11, 18syl2anc 656 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) ) )
209, 19mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `
 S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E!wreu 2715   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ` cfv 5415   iota_crio 6048   Basecbs 14170   lecple 14241   lubclub 15108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-lub 15140
This theorem is referenced by:  luble  15153  lublem  15284
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