Theorem lubprop 15156

Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubprop.b	|- B = ( Base ` K )
lubprop.l	|- .<_ = ( le ` K )
lubprop.u	|- U = ( lub ` K )
lubprop.k	|- ( ph -> K e. V )
lubprop.s	|- ( ph -> S e. dom U )

Assertion

Ref	Expression
lubprop	|- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   y, z, K   y, S, z   y, .<_   y, U, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( y)   .<_ ( z)   V( y, z)

Proof of Theorem lubprop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubprop.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		lubprop.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3		lubprop.u	. . . 4 |- U = ( lub ` K )
4		biid 236	. . . 4 |- ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
5		lubprop.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
6		lubprop.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. dom U )
7	1, 2, 3, 5, 6	lubelss 15152	. . . 4 |- ( ph -> S C_ B )
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	lubval 15154	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) )
9	8	eqcomd 2448	. 2 |- ( ph -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) )
10	1, 3, 5, 6	lubcl 15155	. . 3 |- ( ph -> ( U ` S ) e. B )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6	lubeu 15153	. . 3 |- ( ph -> E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) )
12		breq2 4296	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( y .<_ x <-> y .<_ ( U ` S ) ) )
13	12	ralbidv 2735	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. y e. S y .<_ x <-> A. y e. S y .<_ ( U ` S ) ) )
14		breq1 4295	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` S ) -> ( x .<_ z <-> ( U ` S ) .<_ z ) )
15	14	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
16	15	ralbidv 2735	. . . . 5 |- ( x = ( U ` S ) -> ( A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )
17	13, 16	anbi12d 710	. . . 4 |- ( x = ( U ` S ) -> ( ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) ) )
18	17	riota2 6075	. . 3 |- ( ( ( U ` S ) e. B /\ E! x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
19	10, 11, 18	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) <-> ( iota_ x e. B ( A. y e. S y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> x .<_ z ) ) ) = ( U ` S ) ) )
20	9, 19	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( A. y e. S y .<_ ( U ` S ) /\ A. z e. B ( A. y e. S y .<_ z -> ( U ` S ) .<_ z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E!wreu 2717   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ` cfv 5418   iota_crio 6051   Basecbs 14174   lecple 14245   lubclub 15112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-lub 15144

This theorem is referenced by:  luble  15157  lublem  15288