MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lublem Structured version   Unicode version

Theorem lublem 15594
Description: Lemma for the least upper bound properties in a complete lattice. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lublem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lublem.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lublem  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y, U, z    y,  .<_ , z
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem lublem
StepHypRef Expression
1 lublem.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lublem.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lublem.u . 2  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 simpl 457 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  K  e.  CLat )
51, 3clatlubcl2 15589 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  S  e.  dom  U )
61, 2, 3, 4, 5lubprop 15462 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   Basecbs 14479   lecple 14551   lubclub 15418   CLatccla 15583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-lub 15450  df-clat 15584
This theorem is referenced by:  lubub  15595  lubl  15596
  Copyright terms: Public domain W3C validator