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Theorem lublecllem 15157
Description: Lemma for lublecl 15158 and lubid 15159. (Contributed by NM, 8-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lublecl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lublecl.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lublecl.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lublecl.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
lublecl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
lublecllem  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X
) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z,  .<_    w, B, x, y, z    w, K, x, z    w, X, x, y, z    ph, w, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    U( x, y, z, w)    K( y)

Proof of Theorem lublecllem
StepHypRef Expression
1 breq1 4294 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
y  .<_  X  <->  z  .<_  X ) )
21ralrab 3120 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  x 
<-> 
A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x ) )
31ralrab 3120 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w 
<-> 
A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w ) )
43imbi1i 325 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  w  ->  x  .<_  w )  <->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
54ralbii 2738 . . 3  |-  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w )  <->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
62, 5anbi12i 697 . 2  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) )
7 lublecl.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
8 lublecl.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
9 lublecl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
10 lublecl.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
119, 10posref 15120 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  X )
128, 7, 11syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  .<_  X )
13 breq1 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  X  <->  X  .<_  X ) )
14 breq1 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  <->  ( X  .<_  X  ->  X  .<_  x ) ) )
1615rspcva 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  x ) )  -> 
( X  .<_  X  ->  X  .<_  x ) )
1712, 16syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )  ->  X  .<_  x ) )
187, 17mpand 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  ->  X  .<_  x ) )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  ->  X  .<_  x ) )
20 idd 24 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  B  ->  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) )
2120rgen 2780 . . . . . 6  |-  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )
22 breq2 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
z  .<_  w  <->  z  .<_  X ) )
2322imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) ) )
2423ralbidv 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  X  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) ) )
25 breq2 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  X  ->  (
x  .<_  w  <->  x  .<_  X ) )
2624, 25imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  X  ->  (
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  <-> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
2726rspcv 3068 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  -> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
287, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
2921, 28mpii 43 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  x  .<_  X ) )
3029adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  x  .<_  X ) )
318adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
32 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
337adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  X  e.  B )
349, 10posasymb 15121 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  <->  x  =  X ) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  <->  x  =  X ) )
3635biimpd 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X )
)
3736ancomsd 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( X  .<_  x  /\  x  .<_  X )  ->  x  =  X )
)
3819, 30, 37syl2and 483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )  ->  x  =  X ) )
39 breq2 4295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  X ) )
4039biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
4140ralrimivw 2799 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
4241adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
437adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  X  e.  B )
44 breq1 4294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  w  <->  X  .<_  w ) )
4513, 44imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w ) ) )
4645rspcva 3070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  w ) )  -> 
( X  .<_  X  ->  X  .<_  w ) )
47 pm5.5 336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
.<_  X  ->  ( ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  X  .<_  w ) )
4812, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <-> 
X  .<_  w ) )
49 breq1 4294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  w  <->  X  .<_  w ) )
5049bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( X  .<_  w  <->  x  .<_  w ) )
5148, 50sylan9bb 699 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  (
( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  x  .<_  w ) )
5246, 51syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  (
( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w ) )  ->  x  .<_  w ) )
5343, 52mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5453ralrimivw 2799 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5554adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5642, 55jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) )
5756ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  =  X  -> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) ) )
5838, 57impbid 191 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X ) )
596, 58syl5bb 257 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718   class class class wbr 4291   ` cfv 5417   Basecbs 14173   lecple 14244   Posetcpo 15109   lubclub 15111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-iota 5380  df-fv 5425  df-poset 15115
This theorem is referenced by:  lublecl  15158  lubid  15159
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