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Theorem lublecl 16190
Description: The set of all elements less than a given element has an LUB. (Contributed by NM, 8-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lublecl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lublecl.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lublecl.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lublecl.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
lublecl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
lublecl  |-  ( ph  ->  { y  e.  B  |  y  .<_  X }  e.  dom  U )
Distinct variable groups:    y,  .<_    y, B    y, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    U( y)    K( y)

Proof of Theorem lublecl
Dummy variables  x  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3552 . . 3  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  { y  e.  B  |  y  .<_  X }  C_  B )
3 lublecl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4 lublecl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 lublecl.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 lublecl.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
7 lublecl.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
84, 5, 6, 7, 3lublecllem 16189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X
) )
98ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X
) )
10 reu6i 3268 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( ( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X
) )  ->  E! x  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
113, 9, 10syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  E! x  e.  B  ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
12 biid 239 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
134, 5, 6, 12, 7lubeldm 16182 . 2  |-  ( ph  ->  ( { y  e.  B  |  y  .<_  X }  e.  dom  U  <-> 
( { y  e.  B  |  y  .<_  X }  C_  B  /\  E! x  e.  B  ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) ) )
142, 11, 13mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  { y  e.  B  |  y  .<_  X }  e.  dom  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E!wreu 2784   {crab 2786    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ` cfv 5601   Basecbs 15084   lecple 15160   Posetcpo 16140   lubclub 16142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-preset 16128  df-poset 16146  df-lub 16175
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