Theorem luble 16806

Description: A greatest lower bound is a least element.

Hypotheses

Ref	Expression
luble.b	|- B = (base` K)
luble.l	|- L = (le` K)
luble.u	|- U = (lub` K)

Assertion

Ref	Expression
luble	|- (((K e. A /\ S C_ B) /\ ((U` S) e. B /\ X e. S)) -> XL(U` S))

Proof of Theorem luble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		luble.b	. . . . . 6 |- B = (base` K)
2		luble.l	. . . . . 6 |- L = (le` K)
3		luble.u	. . . . . 6 |- U = (lub` K)
4	1, 2, 3	lubprop 16805	. . . . 5 |- ((K e. A /\ S C_ B /\ (U` S) e. B) -> (A.y e. S yL(U` S) /\ A.z e. B (A.y e. S yLz -> (U` S)Lz)))
5	4	simplld 348	. . . 4 |- ((K e. A /\ S C_ B /\ (U` S) e. B) -> A.y e. S yL(U` S))
6		breq1 3341	. . . . 5 |- (y = X -> (yL(U` S) <-> XL(U` S)))
7	6	rcla4cv 2377	. . . 4 |- (A.y e. S yL(U` S) -> (X e. S -> XL(U` S)))
8	5, 7	syl 12	. . 3 |- ((K e. A /\ S C_ B /\ (U` S) e. B) -> (X e. S -> XL(U` S)))
9	8	3exp 1066	. 2 |- (K e. A -> (S C_ B -> ((U` S) e. B -> (X e. S -> XL(U` S)))))
10	9	imp43 397	1 |- (((K e. A /\ S C_ B) /\ ((U` S) e. B /\ X e. S)) -> XL(U` S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  lubclub 16764

This theorem is referenced by:  ple1 16846

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-lub 16799

Copyright terms: Public domain