MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubid Structured version   Unicode version

Theorem lubid 15944
Description: The LUB of elements less than or equal to a fixed value equals that value. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubid.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubid.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubid.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubid.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
lubid.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
lubid  |-  ( ph  ->  ( U `  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y,  .<_    y, B    y, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    U( y)    K( y)

Proof of Theorem lubid
Dummy variables  x  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubid.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubid.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubid.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 biid 236 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
5 lubid.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
6 ssrab2 3524 . . . 4  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  B  |  y  .<_  X }  C_  B )
81, 2, 3, 4, 5, 7lubval 15938 . 2  |-  ( ph  ->  ( U `  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
9 lubid.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
101, 2, 3, 5, 9lublecllem 15942 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X
) )
119, 10riota5 6265 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )  =  X )
128, 11eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( U `  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   ` cfv 5569   iota_crio 6239   Basecbs 14841   lecple 14916   Posetcpo 15893   lubclub 15895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-preset 15881  df-poset 15899  df-lub 15928
This theorem is referenced by:  atlatmstc  32337
  Copyright terms: Public domain W3C validator