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Theorem lubid 14394
Description: The LUB of elements less than or equal to a fixed value equals that value. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubid.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubid.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubid.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubid  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y, B    y, 
.<_    y, X
Allowed substitution hints:    U( y)    K( y)

Proof of Theorem lubid
Dummy variables  x  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3388 . . . 4  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
2 lubid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 lubid.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 lubid.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
52, 3, 4lubval 14391 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X }  C_  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
61, 5mpan2 653 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
76adantr 452 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
8 simpr 448 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
9 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  .<_  X  <->  z  .<_  X ) )
109ralrab 3056 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  x 
<-> 
A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x ) )
119ralrab 3056 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w 
<-> 
A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w ) )
1211imbi1i 316 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  w  ->  x  .<_  w )  <->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
1312ralbii 2690 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w )  <->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
1410, 13anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) )
152, 3posref 14363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  X )
16 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  X  <->  X  .<_  X ) )
17 breq1 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
1816, 17imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  <->  ( X  .<_  X  ->  X  .<_  x ) ) )
1918rspcva 3010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  x ) )  -> 
( X  .<_  X  ->  X  .<_  x ) )
2015, 19syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x ) )  ->  X  .<_  x ) )
218, 20mpand 657 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  ->  X  .<_  x ) )
2221adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  ->  X  .<_  x ) )
23 idd 22 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) )
2423rgen 2731 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )
25 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  (
z  .<_  w  <->  z  .<_  X ) )
2625imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) ) )
2726ralbidv 2686 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) ) )
28 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  (
x  .<_  w  <->  x  .<_  X ) )
2927, 28imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  X  ->  (
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  <-> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
3029rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  -> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
3124, 30mpii 41 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  x  .<_  X ) )
3231ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  x  .<_  X ) )
332, 3posasymb 14364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  <->  x  =  X ) )
3433biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X )
)
35343com23 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X )
)
36353expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X ) )
3736ancomsd 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  x  /\  x  .<_  X )  ->  x  =  X ) )
3822, 32, 37syl2and 470 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )  ->  x  =  X ) )
39 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  X ) )
4039biimprd 215 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
4140ralrimivw 2750 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
4241adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
43 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  X  e.  B )
44 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  w  <->  X  .<_  w ) )
4516, 44imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w ) ) )
4645rspcva 3010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  w ) )  -> 
( X  .<_  X  ->  X  .<_  w ) )
47 pm5.5 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X 
.<_  X  ->  ( ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  X  .<_  w ) )
4815, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  X  .<_  w ) )
49 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  w  <->  X  .<_  w ) )
5049bicomd 193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( X  .<_  w  <->  x  .<_  w ) )
5148, 50sylan9bb 681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  x  .<_  w ) )
5246, 51syl5ib 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  w ) )  ->  x  .<_  w ) )
5343, 52mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5453ralrimivw 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5554adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5642, 55jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) )
5756ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  =  X  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) ) )
5838, 57impbid 184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )  <-> 
x  =  X ) )
5914, 58syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X ) )
608, 59riota5 6534 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )  =  X )
617, 60eqtrd 2436 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   Posetcpo 14352   lubclub 14354
This theorem is referenced by:  atlatmstc  29802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6508  df-poset 14358  df-lub 14386
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