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Theorem lubfval 15454
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubfval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubfval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
lubfval.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lubfval  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, s)    ps( x, y, z, s)    B( y)    U( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)    V( x, y, z, s)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubfval.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
2 elex 3115 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
3 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  ( Base `  K
) )
4 lubfval.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2519 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  B )
65pweqd 4008 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ~P ( Base `  p )  =  ~P B )
7 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  =  ( le `  K
) )
8 lubfval.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  = 
.<_  )
109breqd 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) x  <->  y  .<_  x ) )
1110ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) x  <->  A. y  e.  s  y  .<_  x ) )
129breqd 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) z  <->  y  .<_  z ) )
1312ralbidv 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) z  <->  A. y  e.  s  y  .<_  z ) )
149breqd 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  (
x ( le `  p ) z  <->  x  .<_  z ) )
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
165, 15raleqbidv 3065 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le `  p ) z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
1711, 16anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6239 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4518 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) )
2017reubidv 3039 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) )  <-> 
E! x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
21 reueq1 3053 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  p )  =  B  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
225, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
2320, 22bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) )  <-> 
E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
2423abbidv 2596 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) }  =  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } )
2519, 24reseq12d 5265 . . . 4  |-  ( p  =  K  ->  (
( s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) } )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } ) )
26 df-lub 15450 . . . 4  |-  lub  =  ( p  e.  _V  |->  ( ( s  e. 
~P ( Base `  p
)  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) } ) )
27 fvex 5867 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  e.  _V
284, 27eqeltri 2544 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2928pwex 4623 . . . . . 6  |-  ~P B  e.  _V
3029mptex 6122 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  e.  _V
3130resex 5308 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } )  e.  _V
3225, 26, 31fvmpt 5941 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( lub `  K )  =  ( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } ) )
33 lubfval.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
34 lubfval.p . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( ps 
<->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
3635riotabiia 6254 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
3736mpteq2i 4523 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
3834reubii 3041 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  B  ps  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
3938abbii 2594 . . . 4  |-  { s  |  E! x  e.  B  ps }  =  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) }
4037, 39reseq12i 5262 . . 3  |-  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } )
4132, 33, 403eqtr4g 2526 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
421, 2, 413syl 20 1  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   A.wral 2807   E!wreu 2809   _Vcvv 3106   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    |` cres 4994   ` cfv 5579   iota_crio 6235   Basecbs 14479   lecple 14551   lubclub 15418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-lub 15450
This theorem is referenced by:  lubdm  15455  lubfun  15456  lubval  15460  join0  15614  oduglb  15615  odulub  15617
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