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Theorem lubfval 15148
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubfval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubfval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
lubfval.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lubfval  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, s)    ps( x, y, z, s)    B( y)    U( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)    V( x, y, z, s)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubfval.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
2 elex 2981 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
3 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  ( Base `  K
) )
4 lubfval.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  B )
65pweqd 3865 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ~P ( Base `  p )  =  ~P B )
7 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  =  ( le `  K
) )
8 lubfval.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  = 
.<_  )
109breqd 4303 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) x  <->  y  .<_  x ) )
1110ralbidv 2735 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) x  <->  A. y  e.  s  y  .<_  x ) )
129breqd 4303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) z  <->  y  .<_  z ) )
1312ralbidv 2735 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) z  <->  A. y  e.  s  y  .<_  z ) )
149breqd 4303 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  (
x ( le `  p ) z  <->  x  .<_  z ) )
1513, 14imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
165, 15raleqbidv 2931 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le `  p ) z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
1711, 16anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6055 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4370 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) )
2017reubidv 2905 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) )  <-> 
E! x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
21 reueq1 2919 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  p )  =  B  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
225, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
2320, 22bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) )  <-> 
E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
2423abbidv 2557 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) }  =  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } )
2519, 24reseq12d 5111 . . . 4  |-  ( p  =  K  ->  (
( s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) } )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } ) )
26 df-lub 15144 . . . 4  |-  lub  =  ( p  e.  _V  |->  ( ( s  e. 
~P ( Base `  p
)  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) } ) )
27 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  e.  _V
284, 27eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2928pwex 4475 . . . . . 6  |-  ~P B  e.  _V
3029mptex 5948 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  e.  _V
3130resex 5150 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } )  e.  _V
3225, 26, 31fvmpt 5774 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( lub `  K )  =  ( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) } ) )
33 lubfval.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
34 lubfval.p . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
3534a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( ps 
<->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
3635riotabiia 6070 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  =  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
3736mpteq2i 4375 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
3834reubii 2907 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  B  ps  <->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
3938abbii 2555 . . . 4  |-  { s  |  E! x  e.  B  ps }  =  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) }
4037, 39reseq12i 5108 . . 3  |-  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) } )
4132, 33, 403eqtr4g 2500 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
421, 2, 413syl 20 1  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   E!wreu 2717   _Vcvv 2972   ~Pcpw 3860   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    |` cres 4842   ` cfv 5418   iota_crio 6051   Basecbs 14174   lecple 14245   lubclub 15112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-lub 15144
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