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Theorem lubfun 16178
Description: The LUB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
lubfun.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubfun  |-  Fun  U

Proof of Theorem lubfun
Dummy variables  x  s  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5628 . . . 4  |-  Fun  (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) ) )
2 funres 5631 . . . 4  |-  ( Fun  ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )  ->  Fun  ( (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) } ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  (
( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) } )
4 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 eqid 2420 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 lubfun.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
7 biid 239 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) )  <-> 
( A. y  e.  s  y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) )
8 id 23 . . . . 5  |-  ( K  e.  _V  ->  K  e.  _V )
94, 5, 6, 7, 8lubfval 16176 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) } ) )
109funeqd 5613 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( Fun  U  <->  Fun  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) } ) ) )
113, 10mpbiri 236 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  Fun  U )
12 fun0 5649 . . 3  |-  Fun  (/)
13 fvprc 5866 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( lub `  K )  =  (/) )
146, 13syl5eq 2473 . . . 4  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  U  =  (/) )
1514funeqd 5613 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( Fun  U  <->  Fun  (/) ) )
1612, 15mpbiri 236 . 2  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  Fun 
U )
1711, 16pm2.61i 167 1  |-  Fun  U
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {cab 2405   A.wral 2773   E!wreu 2775   _Vcvv 3078   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475    |` cres 4847   Fun wfun 5586   ` cfv 5592   iota_crio 6257   Basecbs 15081   lecple 15157   lubclub 16139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-lub 16172
This theorem is referenced by:  joinfval  16199  joinfval2  16200
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