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Theorem lubfun 15470
Description: The LUB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
lubfun.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubfun  |-  Fun  U

Proof of Theorem lubfun
Dummy variables  x  s  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5624 . . . 4  |-  Fun  (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) ) )
2 funres 5627 . . . 4  |-  ( Fun  ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )  ->  Fun  ( (
s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) } ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  Fun  (
( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  K )
( A. y  e.  s  y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) } )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 lubfun.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
7 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) )  <-> 
( A. y  e.  s  y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) )
8 id 22 . . . . 5  |-  ( K  e.  _V  ->  K  e.  _V )
94, 5, 6, 7, 8lubfval 15468 . . . 4  |-  ( K  e.  _V  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) } ) )
109funeqd 5609 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( Fun  U  <->  Fun  ( ( s  e.  ~P ( Base `  K )  |->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K
) ( A. y  e.  s  y ( le `  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )  |`  { s  |  E! x  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  K ) ( A. y  e.  s  y
( le `  K
) z  ->  x
( le `  K
) z ) ) } ) ) )
113, 10mpbiri 233 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  Fun  U )
12 fun0 5645 . . 3  |-  Fun  (/)
13 fvprc 5860 . . . . 5  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( lub `  K )  =  (/) )
146, 13syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  U  =  (/) )
1514funeqd 5609 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  ( Fun  U  <->  Fun  (/) ) )
1612, 15mpbiri 233 . 2  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  Fun 
U )
1711, 16pm2.61i 164 1  |-  Fun  U
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E!wreu 2816   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   Fun wfun 5582   ` cfv 5588   iota_crio 6245   Basecbs 14493   lecple 14565   lubclub 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-lub 15464
This theorem is referenced by:  joinfval  15491  joinfval2  15492
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