Theorem lubel 16898

Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set.

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	|- B = (base` K)
lublem.l	|- L = (le` K)
lublem.u	|- U = (lub` K)

Assertion

Ref	Expression
lubel	|- ((K e. CLat /\ X e. S /\ S C_ B) -> XL(U` S))

Proof of Theorem lubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lublem.b	. . . . 5 |- B = (base` K)
2		lublem.u	. . . . 5 |- U = (lub` K)
3	1, 2	lubsn 16885	. . . 4 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B) -> (U` {X}) = X)
4		clatlat 16893	. . . 4 |- (K e. CLat -> K e. LatNEW)
5		ssel 2615	. . . . 5 |- (S C_ B -> (X e. S -> X e. B))
6	5	impcom 378	. . . 4 |- ((X e. S /\ S C_ B) -> X e. B)
7	3, 4, 6	syl2an 503	. . 3 |- ((K e. CLat /\ (X e. S /\ S C_ B)) -> (U` {X}) = X)
8	7	3impb 1063	. 2 |- ((K e. CLat /\ X e. S /\ S C_ B) -> (U` {X}) = X)
9		lublem.l	. . . . 5 |- L = (le` K)
10	1, 9, 2	lubss 16897	. . . 4 |- ((K e. CLat /\ S C_ B /\ {X} C_ S) -> (U` {X})L(U` S))
11		snssi 3129	. . . 4 |- (X e. S -> {X} C_ S)
12	10, 11	syl3an3 1132	. . 3 |- ((K e. CLat /\ S C_ B /\ X e. S) -> (U` {X})L(U` S))
13	12	3com23 1074	. 2 |- ((K e. CLat /\ X e. S /\ S C_ B) -> (U` {X})L(U` S))
14	8, 13	eqbrtrrd 3359	1 |- ((K e. CLat /\ X e. S /\ S C_ B) -> XL(U` S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  {csn 3044   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  lubclub 16764  LatNEWclat 16834  CLatccla 16835

This theorem is referenced by:  lubun 16899  lubunNEW 16900  hlatmstc 17047  2polss 17327

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-lub 16799  df-join 16801  df-meet 16802  df-lat 16847  df-clat 16848

Copyright terms: Public domain