MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubdm Structured version   Unicode version

Theorem lubdm 15933
Description: Domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubfval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
lubfval.p  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
lubfval.k  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lubdm  |-  ( ph  ->  dom  U  =  {
s  e.  ~P B  |  E! x  e.  B  ps } )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, s)    ps( x, y, z, s)    B( y)    U( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)    V( x, y, z, s)

Proof of Theorem lubdm
StepHypRef Expression
1 lubfval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubfval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubfval.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
4 lubfval.p . . . 4  |-  ( ps  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
5 lubfval.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
61, 2, 3, 4, 5lubfval 15932 . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
76dmeqd 5026 . 2  |-  ( ph  ->  dom  U  =  dom  ( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps )
)  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } ) )
8 riotaex 6244 . . . . 5  |-  ( iota_ x  e.  B  ps )  e.  _V
9 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B  ps ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )
108, 9dmmpti 5693 . . . 4  |-  dom  (
s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  =  ~P B
1110ineq2i 3638 . . 3  |-  ( { s  |  E! x  e.  B  ps }  i^i  dom  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) ) )  =  ( { s  |  E! x  e.  B  ps }  i^i  ~P B )
12 dmres 5114 . . 3  |-  dom  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } )  =  ( { s  |  E! x  e.  B  ps }  i^i  dom  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps )
) )
13 dfrab2 3726 . . 3  |-  { s  e.  ~P B  |  E! x  e.  B  ps }  =  ( { s  |  E! x  e.  B  ps }  i^i  ~P B )
1411, 12, 133eqtr4i 2441 . 2  |-  dom  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B  ps ) )  |`  { s  |  E! x  e.  B  ps } )  =  {
s  e.  ~P B  |  E! x  e.  B  ps }
157, 14syl6eq 2459 1  |-  ( ph  ->  dom  U  =  {
s  e.  ~P B  |  E! x  e.  B  ps } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2754   E!wreu 2756   {crab 2758    i^i cin 3413   ~Pcpw 3955   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   dom cdm 4823    |` cres 4825   ` cfv 5569   iota_crio 6239   Basecbs 14841   lecple 14916   lubclub 15895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-lub 15928
This theorem is referenced by:  lubeldm  15935  xrsclat  28120
  Copyright terms: Public domain W3C validator