MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltxrlt Structured version   Unicode version

Theorem ltxrlt 9466
Description: The standard less-than  <RR and the extended real less-than  < are identical when restricted to the non-extended reals  RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltxrlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )

Proof of Theorem ltxrlt
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brun 4361 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  <->  ( A
( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  \/  A ( { -oo }  X.  RR ) B ) )
2 brxp 4891 . . . . . . 7  |-  ( A ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  <-> 
( A  e.  ( RR  u.  { -oo } )  /\  B  e. 
{ +oo } ) )
3 elsni 3923 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { +oo }  ->  B  = +oo )
4 pnfnre 9446 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e/  RR
54neli 2728 . . . . . . . . . 10  |-  -. +oo  e.  RR
6 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
7 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
86, 7syl5ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = +oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> +oo  e.  RR ) )
95, 8mtoi 178 . . . . . . . . 9  |-  ( B  = +oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
103, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  { +oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
1110adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( RR  u.  { -oo }
)  /\  B  e.  { +oo } )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
122, 11sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
13 brxp 4891 . . . . . . 7  |-  ( A ( { -oo }  X.  RR ) B  <->  ( A  e.  { -oo }  /\  B  e.  RR )
)
14 elsni 3923 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { -oo }  ->  A  = -oo )
15 mnfnre 9447 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e/  RR
1615neli 2728 . . . . . . . . . 10  |-  -. -oo  e.  RR
17 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
18 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  e.  RR  <-> -oo  e.  RR ) )
1917, 18syl5ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> -oo  e.  RR ) )
2016, 19mtoi 178 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2114, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { -oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  { -oo }  /\  B  e.  RR )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2313, 22sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A ( { -oo }  X.  RR ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2412, 23jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } ) B  \/  A
( { -oo }  X.  RR ) B )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
251, 24sylbi 195 . . . 4  |-  ( A ( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2625con2i 120 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B )
27 biimt 335 . . . 4  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) ) )
28 df-ltxr 9444 . . . . . . 7  |-  <  =  ( { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  u.  (
( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) )
2928equncomi 3523 . . . . . 6  |-  <  =  ( ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } )
3029breqi 4319 . . . . 5  |-  ( A  <  B  <->  A (
( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B )
31 brun 4361 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B  <-> 
( A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
32 df-or 370 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B )  <-> 
( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B
) )
3330, 31, 323bitri 271 . . . 4  |-  ( A  <  B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3427, 33syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3526, 34syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
36 breq12 4318 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  <RR  y  <->  A  <RR  B ) )
37 df-3an 967 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) )
3837opabbii 4377 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) }
3936, 38brab2ga 4933 . . 3  |-  ( A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <RR  B ) )
4039baibr 897 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
4135, 40bitr4d 256 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3347   {csn 3898   class class class wbr 4313   {copab 4370    X. cxp 4859   RRcr 9302    <RR cltrr 9307   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437    < clt 9439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444
This theorem is referenced by:  axlttri  9467  axlttrn  9468  axltadd  9469  axmulgt0  9470  axsup  9471
  Copyright terms: Public domain W3C validator