Theorem ltxrlt 9703

Description: The standard less-than <RR and the extended real less-than < are identical when restricted to the non-extended reals RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltxrlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Proof of Theorem ltxrlt

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brun 4474	. . . . 5 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B <-> ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) )
2		brxp 4885	. . . . . . 7 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B <-> ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) )
3		elsni 4027	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { +oo } -> B = +oo )
4		pnfnre 9681	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e/ RR
5	4	neli 2767	. . . . . . . . . 10 |- -. +oo e. RR
6		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
7		eleq1 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = +oo -> ( B e. RR <-> +oo e. RR ) )
8	6, 7	syl5ib 222	. . . . . . . . . 10 |- ( B = +oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> +oo e. RR ) )
9	5, 8	mtoi 181	. . . . . . . . 9 |- ( B = +oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. { +oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
11	10	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
12	2, 11	sylbi 198	. . . . . 6 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
13		brxp 4885	. . . . . . 7 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B <-> ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) )
14		elsni 4027	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { -oo } -> A = -oo )
15		mnfnre 9682	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e/ RR
16	15	neli 2767	. . . . . . . . . 10 |- -. -oo e. RR
17		simpl 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
18		eleq1 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
19	17, 18	syl5ib 222	. . . . . . . . . 10 |- ( A = -oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -oo e. RR ) )
20	16, 19	mtoi 181	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. { -oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
22	21	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
23	13, 22	sylbi 198	. . . . . 6 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
24	12, 23	jaoi 380	. . . . 5 |- ( ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 198	. . . 4 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
26	25	con2i 123	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B )
27		biimt 336	. . . 4 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) ) )
28		df-ltxr 9679	. . . . . . 7 |- < = ( { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } u. ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) )
29	28	equncomi 3618	. . . . . 6 |- < = ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } )
30	29	breqi 4432	. . . . 5 |- ( A < B <-> A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B )
31		brun 4474	. . . . 5 |- ( A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B <-> ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
32		df-or 371	. . . . 5 |- ( ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
33	30, 31, 32	3bitri 274	. . . 4 |- ( A < B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
34	27, 33	syl6rbbr 267	. . 3 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
35	26, 34	syl 17	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
36		breq12 4431	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x <RR y <-> A <RR B ) )
37		df-3an 984	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) <-> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) )
38	37	opabbii 4490	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) }
39	36, 38	brab2ga 4930	. . 3 |- ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <RR B ) )
40	39	baibr 912	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <RR B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
41	35, 40	bitr4d 259	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   u. cun 3440   {csn 4002   class class class wbr 4426   {copab 4483   X. cxp 4852   RRcr 9537   <RR cltrr 9542   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672   < clt 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679

This theorem is referenced by:  axlttri  9704  axlttrn  9705  axltadd  9706  axmulgt0  9707  axsup  9708