MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltxrlt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltxrlt 9722
Description: The standard less-than  <RR and the extended real less-than  < are identical when restricted to the non-extended reals  RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltxrlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )

Proof of Theorem ltxrlt
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brun 4444 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  <->  ( A
( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  \/  A ( { -oo }  X.  RR ) B ) )
2 brxp 4870 . . . . . . 7  |-  ( A ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  <-> 
( A  e.  ( RR  u.  { -oo } )  /\  B  e. 
{ +oo } ) )
3 elsni 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { +oo }  ->  B  = +oo )
4 pnfnre 9700 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e/  RR
54neli 2745 . . . . . . . . . 10  |-  -. +oo  e.  RR
6 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
7 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
86, 7syl5ib 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = +oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> +oo  e.  RR ) )
95, 8mtoi 183 . . . . . . . . 9  |-  ( B  = +oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
103, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  { +oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
1110adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( RR  u.  { -oo }
)  /\  B  e.  { +oo } )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
122, 11sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( A ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
13 brxp 4870 . . . . . . 7  |-  ( A ( { -oo }  X.  RR ) B  <->  ( A  e.  { -oo }  /\  B  e.  RR )
)
14 elsni 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { -oo }  ->  A  = -oo )
15 mnfnre 9701 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e/  RR
1615neli 2745 . . . . . . . . . 10  |-  -. -oo  e.  RR
17 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
18 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  e.  RR  <-> -oo  e.  RR ) )
1917, 18syl5ib 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> -oo  e.  RR ) )
2016, 19mtoi 183 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { -oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2221adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  { -oo }  /\  B  e.  RR )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2313, 22sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( A ( { -oo }  X.  RR ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2412, 23jaoi 386 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } ) B  \/  A
( { -oo }  X.  RR ) B )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
251, 24sylbi 200 . . . 4  |-  ( A ( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2625con2i 124 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B )
27 biimt 342 . . . 4  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) ) )
28 df-ltxr 9698 . . . . . . 7  |-  <  =  ( { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  u.  (
( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) )
2928equncomi 3571 . . . . . 6  |-  <  =  ( ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } )
3029breqi 4401 . . . . 5  |-  ( A  <  B  <->  A (
( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B )
31 brun 4444 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B  <-> 
( A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
32 df-or 377 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B )  <-> 
( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B
) )
3330, 31, 323bitri 279 . . . 4  |-  ( A  <  B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3427, 33syl6rbbr 272 . . 3  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3526, 34syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
36 breq12 4400 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  <RR  y  <->  A  <RR  B ) )
37 df-3an 1009 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) )
3837opabbii 4460 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) }
3936, 38brab2ga 4915 . . 3  |-  ( A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <RR  B ) )
4039baibr 920 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
4135, 40bitr4d 264 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388   {csn 3959   class class class wbr 4395   {copab 4453    X. cxp 4837   RRcr 9556    <RR cltrr 9561   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691    < clt 9693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-ltxr 9698
This theorem is referenced by:  axlttri  9723  axlttrn  9724  axltadd  9725  axmulgt0  9726  axsup  9727
  Copyright terms: Public domain W3C validator