Theorem ltxrlt 9466

Description: The standard less-than <RR and the extended real less-than < are identical when restricted to the non-extended reals RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltxrlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Proof of Theorem ltxrlt

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brun 4361	. . . . 5 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B <-> ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) )
2		brxp 4891	. . . . . . 7 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B <-> ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) )
3		elsni 3923	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { +oo } -> B = +oo )
4		pnfnre 9446	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e/ RR
5	4	neli 2728	. . . . . . . . . 10 |- -. +oo e. RR
6		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
7		eleq1 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = +oo -> ( B e. RR <-> +oo e. RR ) )
8	6, 7	syl5ib 219	. . . . . . . . . 10 |- ( B = +oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> +oo e. RR ) )
9	5, 8	mtoi 178	. . . . . . . . 9 |- ( B = +oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
10	3, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( B e. { +oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
11	10	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
12	2, 11	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
13		brxp 4891	. . . . . . 7 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B <-> ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) )
14		elsni 3923	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { -oo } -> A = -oo )
15		mnfnre 9447	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e/ RR
16	15	neli 2728	. . . . . . . . . 10 |- -. -oo e. RR
17		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
18		eleq1 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
19	17, 18	syl5ib 219	. . . . . . . . . 10 |- ( A = -oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -oo e. RR ) )
20	16, 19	mtoi 178	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
21	14, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. { -oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
22	21	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
23	13, 22	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
24	12, 23	jaoi 379	. . . . 5 |- ( ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 195	. . . 4 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
26	25	con2i 120	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B )
27		biimt 335	. . . 4 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) ) )
28		df-ltxr 9444	. . . . . . 7 |- < = ( { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } u. ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) )
29	28	equncomi 3523	. . . . . 6 |- < = ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } )
30	29	breqi 4319	. . . . 5 |- ( A < B <-> A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B )
31		brun 4361	. . . . 5 |- ( A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B <-> ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
32		df-or 370	. . . . 5 |- ( ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
33	30, 31, 32	3bitri 271	. . . 4 |- ( A < B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
34	27, 33	syl6rbbr 264	. . 3 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
35	26, 34	syl 16	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
36		breq12 4318	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x <RR y <-> A <RR B ) )
37		df-3an 967	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) <-> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) )
38	37	opabbii 4377	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) }
39	36, 38	brab2ga 4933	. . 3 |- ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <RR B ) )
40	39	baibr 897	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <RR B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
41	35, 40	bitr4d 256	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   u. cun 3347   {csn 3898   class class class wbr 4313   {copab 4370   X. cxp 4859   RRcr 9302   <RR cltrr 9307   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437   < clt 9439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444

This theorem is referenced by:  axlttri  9467  axlttrn  9468  axltadd  9469  axmulgt0  9470  axsup  9471