MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltxrlt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltxrlt 9704
Description: The standard less-than  <RR and the extended real less-than  < are identical when restricted to the non-extended reals  RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltxrlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )

Proof of Theorem ltxrlt
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brun 4451 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  <->  ( A
( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  \/  A ( { -oo }  X.  RR ) B ) )
2 brxp 4865 . . . . . . 7  |-  ( A ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  <-> 
( A  e.  ( RR  u.  { -oo } )  /\  B  e. 
{ +oo } ) )
3 elsni 3993 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { +oo }  ->  B  = +oo )
4 pnfnre 9682 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e/  RR
54neli 2726 . . . . . . . . . 10  |-  -. +oo  e.  RR
6 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
7 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
86, 7syl5ib 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = +oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> +oo  e.  RR ) )
95, 8mtoi 182 . . . . . . . . 9  |-  ( B  = +oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
103, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  { +oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
1110adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( RR  u.  { -oo }
)  /\  B  e.  { +oo } )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
122, 11sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( A ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
13 brxp 4865 . . . . . . 7  |-  ( A ( { -oo }  X.  RR ) B  <->  ( A  e.  { -oo }  /\  B  e.  RR )
)
14 elsni 3993 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { -oo }  ->  A  = -oo )
15 mnfnre 9683 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e/  RR
1615neli 2726 . . . . . . . . . 10  |-  -. -oo  e.  RR
17 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
18 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  e.  RR  <-> -oo  e.  RR ) )
1917, 18syl5ib 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> -oo  e.  RR ) )
2016, 19mtoi 182 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { -oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2221adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  { -oo }  /\  B  e.  RR )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2313, 22sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( A ( { -oo }  X.  RR ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2412, 23jaoi 381 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } ) B  \/  A
( { -oo }  X.  RR ) B )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
251, 24sylbi 199 . . . 4  |-  ( A ( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2625con2i 124 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B )
27 biimt 337 . . . 4  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) ) )
28 df-ltxr 9680 . . . . . . 7  |-  <  =  ( { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  u.  (
( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) )
2928equncomi 3580 . . . . . 6  |-  <  =  ( ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } )
3029breqi 4408 . . . . 5  |-  ( A  <  B  <->  A (
( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B )
31 brun 4451 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B  <-> 
( A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
32 df-or 372 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B )  <-> 
( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B
) )
3330, 31, 323bitri 275 . . . 4  |-  ( A  <  B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3427, 33syl6rbbr 268 . . 3  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3526, 34syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
36 breq12 4407 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  <RR  y  <->  A  <RR  B ) )
37 df-3an 987 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) )
3837opabbii 4467 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) }
3936, 38brab2ga 4910 . . 3  |-  ( A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <RR  B ) )
4039baibr 915 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
4135, 40bitr4d 260 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    u. cun 3402   {csn 3968   class class class wbr 4402   {copab 4460    X. cxp 4832   RRcr 9538    <RR cltrr 9543   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673    < clt 9675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680
This theorem is referenced by:  axlttri  9705  axlttrn  9706  axltadd  9707  axmulgt0  9708  axsup  9709
  Copyright terms: Public domain W3C validator