Theorem ltxrlt 9656

Description: The standard less-than <RR and the extended real less-than < are identical when restricted to the non-extended reals RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltxrlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Proof of Theorem ltxrlt

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brun 4495	. . . . 5 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B <-> ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) )
2		brxp 5030	. . . . . . 7 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B <-> ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) )
3		elsni 4052	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { +oo } -> B = +oo )
4		pnfnre 9636	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e/ RR
5	4	neli 2802	. . . . . . . . . 10 |- -. +oo e. RR
6		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
7		eleq1 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = +oo -> ( B e. RR <-> +oo e. RR ) )
8	6, 7	syl5ib 219	. . . . . . . . . 10 |- ( B = +oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> +oo e. RR ) )
9	5, 8	mtoi 178	. . . . . . . . 9 |- ( B = +oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
10	3, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( B e. { +oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
11	10	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
12	2, 11	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
13		brxp 5030	. . . . . . 7 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B <-> ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) )
14		elsni 4052	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { -oo } -> A = -oo )
15		mnfnre 9637	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e/ RR
16	15	neli 2802	. . . . . . . . . 10 |- -. -oo e. RR
17		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
18		eleq1 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
19	17, 18	syl5ib 219	. . . . . . . . . 10 |- ( A = -oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -oo e. RR ) )
20	16, 19	mtoi 178	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
21	14, 20	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. { -oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
22	21	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
23	13, 22	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
24	12, 23	jaoi 379	. . . . 5 |- ( ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 195	. . . 4 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
26	25	con2i 120	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B )
27		biimt 335	. . . 4 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) ) )
28		df-ltxr 9634	. . . . . . 7 |- < = ( { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } u. ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) )
29	28	equncomi 3650	. . . . . 6 |- < = ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } )
30	29	breqi 4453	. . . . 5 |- ( A < B <-> A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B )
31		brun 4495	. . . . 5 |- ( A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B <-> ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
32		df-or 370	. . . . 5 |- ( ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
33	30, 31, 32	3bitri 271	. . . 4 |- ( A < B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
34	27, 33	syl6rbbr 264	. . 3 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
35	26, 34	syl 16	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
36		breq12 4452	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x <RR y <-> A <RR B ) )
37		df-3an 975	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) <-> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) )
38	37	opabbii 4511	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) }
39	36, 38	brab2ga 5075	. . 3 |- ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <RR B ) )
40	39	baibr 902	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <RR B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
41	35, 40	bitr4d 256	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   u. cun 3474   {csn 4027   class class class wbr 4447   {copab 4504   X. cxp 4997   RRcr 9492   <RR cltrr 9497   +oocpnf 9626   -oocmnf 9627   < clt 9629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634

This theorem is referenced by:  axlttri  9657  axlttrn  9658  axltadd  9659  axmulgt0  9660  axsup  9661