Theorem ltxrlt 9722

Description: The standard less-than <RR and the extended real less-than < are identical when restricted to the non-extended reals RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltxrlt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Proof of Theorem ltxrlt

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brun 4444	. . . . 5 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B <-> ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) )
2		brxp 4870	. . . . . . 7 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B <-> ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) )
3		elsni 3985	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { +oo } -> B = +oo )
4		pnfnre 9700	. . . . . . . . . . 11 |- +oo e/ RR
5	4	neli 2745	. . . . . . . . . 10 |- -. +oo e. RR
6		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B e. RR )
7		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = +oo -> ( B e. RR <-> +oo e. RR ) )
8	6, 7	syl5ib 227	. . . . . . . . . 10 |- ( B = +oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> +oo e. RR ) )
9	5, 8	mtoi 183	. . . . . . . . 9 |- ( B = +oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. { +oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
11	10	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( RR u. { -oo } ) /\ B e. { +oo } ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
12	2, 11	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
13		brxp 4870	. . . . . . 7 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B <-> ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) )
14		elsni 3985	. . . . . . . . 9 |- ( A e. { -oo } -> A = -oo )
15		mnfnre 9701	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e/ RR
16	15	neli 2745	. . . . . . . . . 10 |- -. -oo e. RR
17		simpl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
18		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = -oo -> ( A e. RR <-> -oo e. RR ) )
19	17, 18	syl5ib 227	. . . . . . . . . 10 |- ( A = -oo -> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -oo e. RR ) )
20	16, 19	mtoi 183	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
21	14, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. { -oo } -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
22	21	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( A e. { -oo } /\ B e. RR ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
23	13, 22	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( A ( { -oo } X. RR ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
24	12, 23	jaoi 386	. . . . 5 |- ( ( A ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) B \/ A ( { -oo } X. RR ) B ) -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 200	. . . 4 |- ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> -. ( A e. RR /\ B e. RR ) )
26	25	con2i 124	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B )
27		biimt 342	. . . 4 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) ) )
28		df-ltxr 9698	. . . . . . 7 |- < = ( { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } u. ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) )
29	28	equncomi 3571	. . . . . 6 |- < = ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } )
30	29	breqi 4401	. . . . 5 |- ( A < B <-> A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B )
31		brun 4444	. . . . 5 |- ( A ( ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) u. { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } ) B <-> ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
32		df-or 377	. . . . 5 |- ( ( A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B \/ A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
33	30, 31, 32	3bitri 279	. . . 4 |- ( A < B <-> ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
34	27, 33	syl6rbbr 272	. . 3 |- ( -. A ( ( ( RR u. { -oo } ) X. { +oo } ) u. ( { -oo } X. RR ) ) B -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
35	26, 34	syl 17	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
36		breq12 4400	. . . 4 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( x <RR y <-> A <RR B ) )
37		df-3an 1009	. . . . 5 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) <-> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) )
38	37	opabbii 4460	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ x <RR y ) }
39	36, 38	brab2ga 4915	. . 3 |- ( A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B <-> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A <RR B ) )
40	39	baibr 920	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <RR B <-> A { <. x , y >. | ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <RR y ) } B ) )
41	35, 40	bitr4d 264	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> A <RR B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   u. cun 3388   {csn 3959   class class class wbr 4395   {copab 4453   X. cxp 4837   RRcr 9556   <RR cltrr 9561   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   < clt 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-ltxr 9698

This theorem is referenced by:  axlttri  9723  axlttrn  9724  axltadd  9725  axmulgt0  9726  axsup  9727