MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltxrlt Structured version   Unicode version

Theorem ltxrlt 9703
Description: The standard less-than  <RR and the extended real less-than  < are identical when restricted to the non-extended reals  RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltxrlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )

Proof of Theorem ltxrlt
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brun 4474 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  <->  ( A
( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  \/  A ( { -oo }  X.  RR ) B ) )
2 brxp 4885 . . . . . . 7  |-  ( A ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  <-> 
( A  e.  ( RR  u.  { -oo } )  /\  B  e. 
{ +oo } ) )
3 elsni 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { +oo }  ->  B  = +oo )
4 pnfnre 9681 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e/  RR
54neli 2767 . . . . . . . . . 10  |-  -. +oo  e.  RR
6 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
7 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  e.  RR  <-> +oo  e.  RR ) )
86, 7syl5ib 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = +oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> +oo  e.  RR ) )
95, 8mtoi 181 . . . . . . . . 9  |-  ( B  = +oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
103, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  { +oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
1110adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( RR  u.  { -oo }
)  /\  B  e.  { +oo } )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
122, 11sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( A ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
13 brxp 4885 . . . . . . 7  |-  ( A ( { -oo }  X.  RR ) B  <->  ( A  e.  { -oo }  /\  B  e.  RR )
)
14 elsni 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  { -oo }  ->  A  = -oo )
15 mnfnre 9682 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e/  RR
1615neli 2767 . . . . . . . . . 10  |-  -. -oo  e.  RR
17 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
18 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  e.  RR  <-> -oo  e.  RR ) )
1917, 18syl5ib 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> -oo  e.  RR ) )
2016, 19mtoi 181 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { -oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2221adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  { -oo }  /\  B  e.  RR )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2313, 22sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( A ( { -oo }  X.  RR ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2412, 23jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } ) B  \/  A
( { -oo }  X.  RR ) B )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
251, 24sylbi 198 . . . 4  |-  ( A ( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2625con2i 123 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B )
27 biimt 336 . . . 4  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) ) )
28 df-ltxr 9679 . . . . . . 7  |-  <  =  ( { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  u.  (
( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) )
2928equncomi 3618 . . . . . 6  |-  <  =  ( ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } )
3029breqi 4432 . . . . 5  |-  ( A  <  B  <->  A (
( ( ( RR  u.  { -oo }
)  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B )
31 brun 4474 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B  <-> 
( A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
32 df-or 371 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B )  <-> 
( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X. 
{ +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B
) )
3330, 31, 323bitri 274 . . . 4  |-  ( A  <  B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3427, 33syl6rbbr 267 . . 3  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  { -oo } )  X.  { +oo } )  u.  ( { -oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3526, 34syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
36 breq12 4431 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  <RR  y  <->  A  <RR  B ) )
37 df-3an 984 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) )
3837opabbii 4490 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) }
3936, 38brab2ga 4930 . . 3  |-  ( A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <RR  B ) )
4039baibr 912 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
4135, 40bitr4d 259 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    u. cun 3440   {csn 4002   class class class wbr 4426   {copab 4483    X. cxp 4852   RRcr 9537    <RR cltrr 9542   +oocpnf 9671   -oocmnf 9672    < clt 9674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679
This theorem is referenced by:  axlttri  9704  axlttrn  9705  axltadd  9706  axmulgt0  9707  axsup  9708
  Copyright terms: Public domain W3C validator