Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltxrlt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltxrlt 9722
 Description: The standard less-than and the extended real less-than are identical when restricted to the non-extended reals . (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltxrlt

Proof of Theorem ltxrlt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brun 4444 . . . . 5
2 brxp 4870 . . . . . . 7
3 elsni 3985 . . . . . . . . 9
4 pnfnre 9700 . . . . . . . . . . 11
54neli 2745 . . . . . . . . . 10
6 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
7 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11
86, 7syl5ib 227 . . . . . . . . . 10
95, 8mtoi 183 . . . . . . . . 9
103, 9syl 17 . . . . . . . 8
1110adantl 473 . . . . . . 7
122, 11sylbi 200 . . . . . 6
13 brxp 4870 . . . . . . 7
14 elsni 3985 . . . . . . . . 9
15 mnfnre 9701 . . . . . . . . . . 11
1615neli 2745 . . . . . . . . . 10
17 simpl 464 . . . . . . . . . . 11
18 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11
1917, 18syl5ib 227 . . . . . . . . . 10
2016, 19mtoi 183 . . . . . . . . 9
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8
2221adantr 472 . . . . . . 7
2313, 22sylbi 200 . . . . . 6
2412, 23jaoi 386 . . . . 5
251, 24sylbi 200 . . . 4
2625con2i 124 . . 3
27 biimt 342 . . . 4
28 df-ltxr 9698 . . . . . . 7
2928equncomi 3571 . . . . . 6
3029breqi 4401 . . . . 5
31 brun 4444 . . . . 5
32 df-or 377 . . . . 5
3330, 31, 323bitri 279 . . . 4
3427, 33syl6rbbr 272 . . 3
3526, 34syl 17 . 2
36 breq12 4400 . . . 4
37 df-3an 1009 . . . . 5
3837opabbii 4460 . . . 4
3936, 38brab2ga 4915 . . 3
4039baibr 920 . 2
4135, 40bitr4d 264 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   cun 3388  csn 3959   class class class wbr 4395  copab 4453   cxp 4837  cr 9556   cltrr 9561   cpnf 9690   cmnf 9691   clt 9693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-ltxr 9698 This theorem is referenced by:  axlttri  9723  axlttrn  9724  axltadd  9725  axmulgt0  9726  axsup  9727
 Copyright terms: Public domain W3C validator