Theorem ltweuz 11780

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	|- < We ( ZZ>= ` A )

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 6484	. . . . 5 |- Ord om
2		ordwe 4728	. . . . 5 |- ( Ord om -> _E We om )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- _E We om
4		rdgeq2 6864	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
5	4	reseq1d 5105	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) )
6		isoeq1 6007	. . . . . . . 8 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
8		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
9		isoeq5 6011	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
11		0z 10653	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
12	11	elimel 3849	. . . . . . . 8 |- if ( A e. ZZ , A , 0 ) e. ZZ
13		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om )
14	12, 13	om2uzisoi 11773	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
15	7, 10, 14	dedth2v 3842	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) )
16		isocnv 6018	. . . . . 6 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
18		dmres 5128	. . . . . . . 8 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) )
19		omex 7845	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
20	19	inex1 4430	. . . . . . . 8 |- ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) ) e. _V
21	18, 20	eqeltri 2511	. . . . . . 7 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) e. _V
22		cnvimass 5186	. . . . . . 7 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) C_ dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om )
23	21, 22	ssexi 4434	. . . . . 6 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
24	23	ax-gen 1596	. . . . 5 |- A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
25		isowe2 6038	. . . . 5 |- ( ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) /\ A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V ) -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
26	17, 24, 25	sylancl 657	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
27	3, 26	mpi 17	. . 3 |- ( A e. ZZ -> < We ( ZZ>= ` A ) )
28		uzf 10860	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
29	28	fdmi 5561	. . 3 |- dom ZZ>= = ZZ
30	27, 29	eleq2s 2533	. 2 |- ( A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
31		we0 4711	. . 3 |- < We (/)
32		ndmfv 5711	. . . 4 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` A ) = (/) )
33		weeq2 4705	. . . 4 |- ( ( ZZ>= ` A ) = (/) -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
34	32, 33	syl 16	. . 3 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
35	31, 34	mpbiri 233	. 2 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
36	30, 35	pm2.61i 164	1 |- < We ( ZZ>= ` A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 1761   _Vcvv 2970   i^i cin 3324   (/)c0 3634   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   e. cmpt 4347   _E cep 4626   We wwe 4674   Ord word 4714   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   |` cres 4838   "cima 4839   ` cfv 5415   Isom wiso 5416  (class class class)co 6090   omcom 6475   reccrdg 6861   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   < clt 9414   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858

This theorem is referenced by:  ltwenn  11781  ltwefz  11782  ltbwe  17530  dyadmax  21037  uzsinds  27606  bpolylem  28120