Theorem ltweuz 12036

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	|- < We ( ZZ>= ` A )

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 6687	. . . . 5 |- Ord om
2		ordwe 4891	. . . . 5 |- ( Ord om -> _E We om )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- _E We om
4		rdgeq2 7075	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
5	4	reseq1d 5270	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) )
6		isoeq1 6201	. . . . . . . 8 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
8		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
9		isoeq5 6205	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
11		0z 10871	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
12	11	elimel 4002	. . . . . . . 8 |- if ( A e. ZZ , A , 0 ) e. ZZ
13		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om )
14	12, 13	om2uzisoi 12029	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
15	7, 10, 14	dedth2v 3995	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) )
16		isocnv 6212	. . . . . 6 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
18		dmres 5292	. . . . . . . 8 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) )
19		omex 8056	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
20	19	inex1 4588	. . . . . . . 8 |- ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) ) e. _V
21	18, 20	eqeltri 2551	. . . . . . 7 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) e. _V
22		cnvimass 5355	. . . . . . 7 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) C_ dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om )
23	21, 22	ssexi 4592	. . . . . 6 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
24	23	ax-gen 1601	. . . . 5 |- A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
25		isowe2 6232	. . . . 5 |- ( ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) /\ A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V ) -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
26	17, 24, 25	sylancl 662	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
27	3, 26	mpi 17	. . 3 |- ( A e. ZZ -> < We ( ZZ>= ` A ) )
28		uzf 11081	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
29	28	fdmi 5734	. . 3 |- dom ZZ>= = ZZ
30	27, 29	eleq2s 2575	. 2 |- ( A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
31		we0 4874	. . 3 |- < We (/)
32		ndmfv 5888	. . . 4 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` A ) = (/) )
33		weeq2 4868	. . . 4 |- ( ( ZZ>= ` A ) = (/) -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
34	32, 33	syl 16	. . 3 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
35	31, 34	mpbiri 233	. 2 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
36	30, 35	pm2.61i 164	1 |- < We ( ZZ>= ` A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   |-> cmpt 4505   _E cep 4789   We wwe 4837   Ord word 4877   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   |` cres 5001   "cima 5002   ` cfv 5586   Isom wiso 5587  (class class class)co 6282   omcom 6678   reccrdg 7072   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   < clt 9624   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079

This theorem is referenced by:  ltwenn  12037  ltwefz  12038  ltbwe  17908  dyadmax  21742  uzsinds  28873  bpolylem  29387