Theorem ltweuz 11789

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	|- < We ( ZZ>= ` A )

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 6490	. . . . 5 |- Ord om
2		ordwe 4737	. . . . 5 |- ( Ord om -> _E We om )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- _E We om
4		rdgeq2 6873	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
5	4	reseq1d 5114	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) )
6		isoeq1 6015	. . . . . . . 8 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
8		fveq2 5696	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
9		isoeq5 6019	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
11		0z 10662	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
12	11	elimel 3857	. . . . . . . 8 |- if ( A e. ZZ , A , 0 ) e. ZZ
13		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om )
14	12, 13	om2uzisoi 11782	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
15	7, 10, 14	dedth2v 3850	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) )
16		isocnv 6026	. . . . . 6 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
18		dmres 5136	. . . . . . . 8 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) )
19		omex 7854	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
20	19	inex1 4438	. . . . . . . 8 |- ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) ) e. _V
21	18, 20	eqeltri 2513	. . . . . . 7 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) e. _V
22		cnvimass 5194	. . . . . . 7 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) C_ dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om )
23	21, 22	ssexi 4442	. . . . . 6 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
24	23	ax-gen 1591	. . . . 5 |- A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
25		isowe2 6046	. . . . 5 |- ( ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) /\ A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V ) -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
26	17, 24, 25	sylancl 662	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
27	3, 26	mpi 17	. . 3 |- ( A e. ZZ -> < We ( ZZ>= ` A ) )
28		uzf 10869	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
29	28	fdmi 5569	. . 3 |- dom ZZ>= = ZZ
30	27, 29	eleq2s 2535	. 2 |- ( A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
31		we0 4720	. . 3 |- < We (/)
32		ndmfv 5719	. . . 4 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` A ) = (/) )
33		weeq2 4714	. . . 4 |- ( ( ZZ>= ` A ) = (/) -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
34	32, 33	syl 16	. . 3 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
35	31, 34	mpbiri 233	. 2 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
36	30, 35	pm2.61i 164	1 |- < We ( ZZ>= ` A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2977   i^i cin 3332   (/)c0 3642   ifcif 3796   ~Pcpw 3865   e. cmpt 4355   _E cep 4635   We wwe 4683   Ord word 4723   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   |` cres 4847   "cima 4848   ` cfv 5423   Isom wiso 5424  (class class class)co 6096   omcom 6481   reccrdg 6870   0cc0 9287   1c1 9288   + caddc 9290   < clt 9423   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867

This theorem is referenced by:  ltwenn  11790  ltwefz  11791  ltbwe  17559  dyadmax  21083  uzsinds  27682  bpolylem  28196