Theorem ltweuz 12074

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	|- < We ( ZZ>= ` A )

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 6708	. . . . 5 |- Ord om
2		ordwe 4900	. . . . 5 |- ( Ord om -> _E We om )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- _E We om
4		rdgeq2 7096	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
5	4	reseq1d 5282	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) )
6		isoeq1 6216	. . . . . . . 8 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
8		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
9		isoeq5 6220	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
11		0z 10896	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
12	11	elimel 4007	. . . . . . . 8 |- if ( A e. ZZ , A , 0 ) e. ZZ
13		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om )
14	12, 13	om2uzisoi 12067	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
15	7, 10, 14	dedth2v 4000	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) )
16		isocnv 6227	. . . . . 6 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
18		dmres 5304	. . . . . . . 8 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) )
19		omex 8077	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
20	19	inex1 4597	. . . . . . . 8 |- ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) ) e. _V
21	18, 20	eqeltri 2541	. . . . . . 7 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) e. _V
22		cnvimass 5367	. . . . . . 7 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) C_ dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om )
23	21, 22	ssexi 4601	. . . . . 6 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
24	23	ax-gen 1619	. . . . 5 |- A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
25		isowe2 6247	. . . . 5 |- ( ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) /\ A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V ) -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
26	17, 24, 25	sylancl 662	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
27	3, 26	mpi 17	. . 3 |- ( A e. ZZ -> < We ( ZZ>= ` A ) )
28		uzf 11109	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
29	28	fdmi 5742	. . 3 |- dom ZZ>= = ZZ
30	27, 29	eleq2s 2565	. 2 |- ( A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
31		we0 4883	. . 3 |- < We (/)
32		ndmfv 5896	. . . 4 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` A ) = (/) )
33		weeq2 4877	. . . 4 |- ( ( ZZ>= ` A ) = (/) -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
34	32, 33	syl 16	. . 3 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
35	31, 34	mpbiri 233	. 2 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
36	30, 35	pm2.61i 164	1 |- < We ( ZZ>= ` A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   (/)c0 3793   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   |-> cmpt 4515   _E cep 4798   We wwe 4846   Ord word 4886   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   |` cres 5010   "cima 5011   ` cfv 5594   Isom wiso 5595  (class class class)co 6296   omcom 6699   reccrdg 7093   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107

This theorem is referenced by:  ltwenn  12075  ltwefz  12076  ltbwe  18263  dyadmax  22132  uzsinds  29470  bpolylem  29972