Theorem ltweuz 12213

Description: < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltweuz	|- < We ( ZZ>= ` A )

Proof of Theorem ltweuz

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 6720	. . . . 5 |- Ord om
2		ordwe 5443	. . . . 5 |- ( Ord om -> _E We om )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- _E We om
4		rdgeq2 7148	. . . . . . . . 9 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) = rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
5	4	reseq1d 5110	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) )
6		isoeq1 6228	. . . . . . . 8 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) ) )
8		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
9		isoeq5 6232	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ>= ` A ) = ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A = if ( A e. ZZ , A , 0 ) -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) ) ) )
11		0z 10972	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
12	11	elimel 3934	. . . . . . . 8 |- if ( A e. ZZ , A , 0 ) e. ZZ
13		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om )
14	12, 13	om2uzisoi 12206	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` if ( A e. ZZ , A , 0 ) ) )
15	7, 10, 14	dedth2v 3927	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) )
16		isocnv 6239	. . . . . 6 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` A ) ) -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) )
18		dmres 5131	. . . . . . . 8 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) = ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) )
19		omex 8166	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
20	19	inex1 4537	. . . . . . . 8 |- ( om i^i dom rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) ) e. _V
21	18, 20	eqeltri 2545	. . . . . . 7 |- dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) e. _V
22		cnvimass 5194	. . . . . . 7 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) C_ dom ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om )
23	21, 22	ssexi 4541	. . . . . 6 |- ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
24	23	ax-gen 1677	. . . . 5 |- A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V
25		isowe2 6259	. . . . 5 |- ( ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) Isom < , _E ( ( ZZ>= ` A ) , om ) /\ A. y ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , A ) |` om ) " y ) e. _V ) -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
26	17, 24, 25	sylancl 675	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( _E We om -> < We ( ZZ>= ` A ) ) )
27	3, 26	mpi 20	. . 3 |- ( A e. ZZ -> < We ( ZZ>= ` A ) )
28		uzf 11185	. . . 4 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
29	28	fdmi 5746	. . 3 |- dom ZZ>= = ZZ
30	27, 29	eleq2s 2567	. 2 |- ( A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
31		we0 4834	. . 3 |- < We (/)
32		ndmfv 5903	. . . 4 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` A ) = (/) )
33		weeq2 4828	. . . 4 |- ( ( ZZ>= ` A ) = (/) -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
34	32, 33	syl 17	. . 3 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> ( < We ( ZZ>= ` A ) <-> < We (/) ) )
35	31, 34	mpbiri 241	. 2 |- ( -. A e. dom ZZ>= -> < We ( ZZ>= ` A ) )
36	30, 35	pm2.61i 169	1 |- < We ( ZZ>= ` A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   |-> cmpt 4454   _E cep 4748   We wwe 4797   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   |` cres 4841   "cima 4842   Ord word 5429   ` cfv 5589   Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   omcom 6711   reccrdg 7145   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183

This theorem is referenced by:  ltwenn  12214  ltwefz  12215  uzsinds  12237  bpolylem  14178  ltbwe  18773  dyadmax  22635  omeiunle  38457