MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltweuz 12213
Description:  < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz  |-  <  We  ( ZZ>= `  A )

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 6720 . . . . 5  |-  Ord  om
2 ordwe 5443 . . . . 5  |-  ( Ord 
om  ->  _E  We  om )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  _E  We  om
4 rdgeq2 7148 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  ->  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) ) )
54reseq1d 5110 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om ) )
6 isoeq1 6228 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  <-> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
75, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  A
)  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A
) )  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) ) ) )
8 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  A )  =  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) )
9 isoeq5 6232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ZZ>= `  A )  =  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  <-> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) ) ) )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) )  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) ) ) )
11 0z 10972 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
1211elimel 3934 . . . . . . . 8  |-  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  e.  ZZ
13 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )
1412, 13om2uzisoi 12206 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) )
157, 10, 14dedth2v 3927 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) ) )
16 isocnv 6239 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  ->  `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  <  ,  _E  (
( ZZ>= `  A ) ,  om ) )
1715, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  <  ,  _E  ( ( ZZ>= `  A
) ,  om )
)
18 dmres 5131 . . . . . . . 8  |-  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( om  i^i  dom 
rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A ) )
19 omex 8166 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
2019inex1 4537 . . . . . . . 8  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A ) )  e.  _V
2118, 20eqeltri 2545 . . . . . . 7  |-  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  e.  _V
22 cnvimass 5194 . . . . . . 7  |-  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y
)  C_  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )
2321, 22ssexi 4541 . . . . . 6  |-  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y
)  e.  _V
2423ax-gen 1677 . . . . 5  |-  A. y
( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y )  e. 
_V
25 isowe2 6259 . . . . 5  |-  ( ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  A
)  |`  om )  Isom  <  ,  _E  ( ( ZZ>=
`  A ) ,  om )  /\  A. y ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y )  e.  _V )  -> 
(  _E  We  om  ->  <  We  ( ZZ>= `  A ) ) )
2617, 24, 25sylancl 675 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (  _E  We  om  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
) )
273, 26mpi 20 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
)
28 uzf 11185 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2928fdmi 5746 . . 3  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
3027, 29eleq2s 2567 . 2  |-  ( A  e.  dom  ZZ>=  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
)
31 we0 4834 . . 3  |-  <  We  (/)
32 ndmfv 5903 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  A )  =  (/) )
33 weeq2 4828 . . . 4  |-  ( (
ZZ>= `  A )  =  (/)  ->  (  <  We  ( ZZ>= `  A )  <->  < 
We  (/) ) )
3432, 33syl 17 . . 3  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  -> 
(  <  We  ( ZZ>=
`  A )  <->  <  We  (/) ) )
3531, 34mpbiri 241 . 2  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  ->  <  We  ( ZZ>= `  A
) )
3630, 35pm2.61i 169 1  |-  <  We  ( ZZ>= `  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    i^i cin 3389   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942    |-> cmpt 4454    _E cep 4748    We wwe 4797   `'ccnv 4838   dom cdm 4839    |` cres 4841   "cima 4842   Ord word 5429   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308   omcom 6711   reccrdg 7145   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183
This theorem is referenced by:  ltwenn  12214  ltwefz  12215  uzsinds  12237  bpolylem  14178  ltbwe  18773  dyadmax  22635  omeiunle  38457
  Copyright terms: Public domain W3C validator