MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Unicode version

Theorem ltweuz 12036
Description:  < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz  |-  <  We  ( ZZ>= `  A )

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 6687 . . . . 5  |-  Ord  om
2 ordwe 4891 . . . . 5  |-  ( Ord 
om  ->  _E  We  om )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  _E  We  om
4 rdgeq2 7075 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  ->  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) ) )
54reseq1d 5270 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om ) )
6 isoeq1 6201 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  <-> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  A
)  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A
) )  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) ) ) )
8 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  A )  =  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) )
9 isoeq5 6205 . . . . . . . 8  |-  ( (
ZZ>= `  A )  =  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  <-> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) )  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) ) ) )
11 0z 10871 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
1211elimel 4002 . . . . . . . 8  |-  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  e.  ZZ
13 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )
1412, 13om2uzisoi 12029 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) )
157, 10, 14dedth2v 3995 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) ) )
16 isocnv 6212 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  ->  `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  <  ,  _E  (
( ZZ>= `  A ) ,  om ) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  <  ,  _E  ( ( ZZ>= `  A
) ,  om )
)
18 dmres 5292 . . . . . . . 8  |-  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( om  i^i  dom 
rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A ) )
19 omex 8056 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
2019inex1 4588 . . . . . . . 8  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A ) )  e.  _V
2118, 20eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  e.  _V
22 cnvimass 5355 . . . . . . 7  |-  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y
)  C_  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )
2321, 22ssexi 4592 . . . . . 6  |-  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y
)  e.  _V
2423ax-gen 1601 . . . . 5  |-  A. y
( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y )  e. 
_V
25 isowe2 6232 . . . . 5  |-  ( ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  A
)  |`  om )  Isom  <  ,  _E  ( ( ZZ>=
`  A ) ,  om )  /\  A. y ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y )  e.  _V )  -> 
(  _E  We  om  ->  <  We  ( ZZ>= `  A ) ) )
2617, 24, 25sylancl 662 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (  _E  We  om  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
) )
273, 26mpi 17 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
)
28 uzf 11081 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2928fdmi 5734 . . 3  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
3027, 29eleq2s 2575 . 2  |-  ( A  e.  dom  ZZ>=  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
)
31 we0 4874 . . 3  |-  <  We  (/)
32 ndmfv 5888 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  A )  =  (/) )
33 weeq2 4868 . . . 4  |-  ( (
ZZ>= `  A )  =  (/)  ->  (  <  We  ( ZZ>= `  A )  <->  < 
We  (/) ) )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  -> 
(  <  We  ( ZZ>=
`  A )  <->  <  We  (/) ) )
3531, 34mpbiri 233 . 2  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  ->  <  We  ( ZZ>= `  A
) )
3630, 35pm2.61i 164 1  |-  <  We  ( ZZ>= `  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    i^i cin 3475   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010    |-> cmpt 4505    _E cep 4789    We wwe 4837   Ord word 4877   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002   ` cfv 5586    Isom wiso 5587  (class class class)co 6282   omcom 6678   reccrdg 7072   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  ltwenn  12037  ltwefz  12038  ltbwe  17908  dyadmax  21742  uzsinds  28873  bpolylem  29387
  Copyright terms: Public domain W3C validator