MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri3d Structured version   Unicode version

Theorem lttri3d 9658
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
lttri3d  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )

Proof of Theorem lttri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 lttri3 9601 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   class class class wbr 4384   RRcr 9424    < clt 9561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-resscn 9482  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-ltxr 9566
This theorem is referenced by:  readdcan  9687  fvmptnn04ifc  19461  fvmptnn04ifd  19462  ivthlem3  21973  oddpwdc  28516  dvnxpaek  31944  fourierdlem51  32145  etransclem14  32236  etransclem24  32246  etransclem35  32257
  Copyright terms: Public domain W3C validator