MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri2 Structured version   Unicode version

Theorem lttri2 9698
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )

Proof of Theorem lttri2
StepHypRef Expression
1 ltso 9696 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 sotrieq 4771 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
31, 2mpan 668 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
43bicomd 201 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <  B  \/  B  <  A )  <->  A  =  B ) )
54necon1abid 2651 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395    Or wor 4743   RRcr 9521    < clt 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663
This theorem is referenced by:  ne0gt0  9721  lttri2i  9730  lttri2d  9756  cshwshashlem3  14791  gsummoncoe1  18666  mp2pm2mplem4  19602  chfacfscmulgsum  19653  chfacfpmmulgsum  19657  dvne0  22704  relogbf  23458  logblog  23459  atanlogsub  23572  nn0prpw  30551  itg2addnclem2  31440  nerabdioph  35104  rpnnen3  35336  fmul01lt1lem1  36946
  Copyright terms: Public domain W3C validator