MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri2 Structured version   Unicode version

Theorem lttri2 9663
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )

Proof of Theorem lttri2
StepHypRef Expression
1 ltso 9661 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 sotrieq 4827 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
43bicomd 201 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <  B  \/  B  <  A )  <->  A  =  B ) )
54necon1abid 2715 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447    Or wor 4799   RRcr 9487    < clt 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629
This theorem is referenced by:  ne0gt0  9685  lttri2i  9694  lttri2d  9719  cshwshashlem3  14433  gsummoncoe1  18114  mp2pm2mplem4  19074  chfacfscmulgsum  19125  chfacfpmmulgsum  19129  dvne0  22144  atanlogsub  22972  itg2addnclem2  29642  nn0prpw  29716  nerabdioph  30344  rpnnen3  30578  fmul01lt1lem1  31134
  Copyright terms: Public domain W3C validator