MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri2 Structured version   Unicode version

Theorem lttri2 9569
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )

Proof of Theorem lttri2
StepHypRef Expression
1 ltso 9567 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 sotrieq 4777 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
31, 2mpan 670 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
43bicomd 201 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <  B  \/  B  <  A )  <->  A  =  B ) )
54necon1abid 2700 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4401    Or wor 4749   RRcr 9393    < clt 9530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-ltxr 9535
This theorem is referenced by:  ne0gt0  9591  lttri2i  9600  lttri2d  9625  cshwshashlem3  14243  dvne0  21617  atanlogsub  22445  itg2addnclem2  28593  nn0prpw  28667  nerabdioph  29296  rpnnen3  29530  fmul01lt1lem1  29914  gsummoncoe1  30997  mp2pm2mplem4  31297  chfacfscmulgsum  31347  chfacfpmmulgsum  31351
  Copyright terms: Public domain W3C validator