MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lttri 9786
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 9736 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1373 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    e. wcel 1898   class class class wbr 4416   RRcr 9564    < clt 9701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-resscn 9622  ax-pre-lttrn 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-ltxr 9706
This theorem is referenced by:  1lt3  10807  2lt4  10809  1lt4  10810  3lt5  10812  2lt5  10813  1lt5  10814  4lt6  10816  3lt6  10817  2lt6  10818  1lt6  10819  5lt7  10821  4lt7  10822  3lt7  10823  2lt7  10824  1lt7  10825  6lt8  10827  5lt8  10828  4lt8  10829  3lt8  10830  2lt8  10831  1lt8  10832  7lt9  10834  6lt9  10835  5lt9  10836  4lt9  10837  3lt9  10838  2lt9  10839  1lt9  10840  8lt10  10842  7lt10  10843  6lt10  10844  5lt10  10845  4lt10  10846  3lt10  10847  2lt10  10848  1lt10  10849  sincos2sgn  14297  epos  14308  ene1  14311  dvdslelem  14398  oppcbas  15672  sralem  18449  zlmlem  19137  psgnodpmr  19207  tnglem  21697  xrhmph  22024  vitalilem4  22618  pipos  23464  logneg  23586  asin1  23869  reasinsin  23871  atan1  23903  log2le1  23925  bposlem8  24268  bposlem9  24269  chebbnd1lem2  24357  chebbnd1lem3  24358  chebbnd1  24359  mulog2sumlem2  24422  pntibndlem1  24476  pntlemb  24484  pntlemk  24493  ttglem  24955  cchhllem  24966  axlowdimlem16  25036  sgnnbi  29465  sgnpbi  29466  signswch  29499  logi  30419  bj-minftyccb  31712  bj-pinftynminfty  31714  asindmre  32072  fdc  32119  fourierdlem94  38102  fourierdlem102  38110  fourierdlem103  38111  fourierdlem104  38112  fourierdlem112  38120  fourierdlem113  38121  fourierdlem114  38122  fouriersw  38133  etransclem23  38160
  Copyright terms: Public domain W3C validator