Theorem lttri 9155

Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
lttri	|- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Proof of Theorem lttri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		lt.3	. 2 |- C e. RR
4		lttr 9108	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1279	1 |- ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945   < clt 9076

This theorem is referenced by:  1lt3  10100  2lt4  10102  1lt4  10103  3lt5  10105  2lt5  10106  1lt5  10107  4lt6  10109  3lt6  10110  2lt6  10111  1lt6  10112  5lt7  10114  4lt7  10115  3lt7  10116  2lt7  10117  1lt7  10118  6lt8  10120  5lt8  10121  4lt8  10122  3lt8  10123  2lt8  10124  1lt8  10125  7lt9  10127  6lt9  10128  5lt9  10129  4lt9  10130  3lt9  10131  2lt9  10132  1lt9  10133  8lt10  10135  7lt10  10136  6lt10  10137  5lt10  10138  4lt10  10139  3lt10  10140  2lt10  10141  1lt10  10142  sincos2sgn  12750  epos  12761  dvdslelem  12849  oppcbas  13899  sralem  16204  zlmlem  16753  tnglem  18634  xrhmph  18925  vitalilem4  19456  pipos  20326  logneg  20435  asin1  20687  reasinsin  20689  atan1  20721  bposlem8  21028  bposlem9  21029  chebbnd1lem2  21117  chebbnd1lem3  21118  chebbnd1  21119  mulog2sumlem2  21182  pntibndlem1  21236  pntlemb  21244  pntlemk  21253  log2le1  24360  axlowdimlem16  25800  fdc  26339  ene1  28245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttrn 9021

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081