MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Structured version   Unicode version

Theorem lttri 9722
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 9673 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1324 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   RRcr 9503    < clt 9640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645
This theorem is referenced by:  1lt3  10716  2lt4  10718  1lt4  10719  3lt5  10721  2lt5  10722  1lt5  10723  4lt6  10725  3lt6  10726  2lt6  10727  1lt6  10728  5lt7  10730  4lt7  10731  3lt7  10732  2lt7  10733  1lt7  10734  6lt8  10736  5lt8  10737  4lt8  10738  3lt8  10739  2lt8  10740  1lt8  10741  7lt9  10743  6lt9  10744  5lt9  10745  4lt9  10746  3lt9  10747  2lt9  10748  1lt9  10749  8lt10  10751  7lt10  10752  6lt10  10753  5lt10  10754  4lt10  10755  3lt10  10756  2lt10  10757  1lt10  10758  sincos2sgn  13807  epos  13818  dvdslelem  13906  oppcbas  14991  sralem  17694  zlmlem  18423  psgnodpmr  18495  tnglem  21022  xrhmph  21315  vitalilem4  21888  pipos  22720  logneg  22838  asin1  23091  reasinsin  23093  atan1  23125  bposlem8  23432  bposlem9  23433  chebbnd1lem2  23521  chebbnd1lem3  23522  chebbnd1  23523  mulog2sumlem2  23586  pntibndlem1  23640  pntlemb  23648  pntlemk  23657  ttglem  24002  cchhllem  24013  axlowdimlem16  24083  log2le1  27848  sgnnbi  28309  sgnpbi  28310  signswch  28343  asindmre  30029  fdc  30165  fourierdlem94  31824  fourierdlem102  31832  fourierdlem103  31833  fourierdlem104  31834  fourierdlem112  31842  fourierdlem113  31843  fourierdlem114  31844  fouriersw  31855  ene1  32650  bj-minftyccb  34101  bj-pinftynminfty  34103
  Copyright terms: Public domain W3C validator