Theorem lttrd 9187

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 9108	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1184	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 661	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945   < clt 9076

This theorem is referenced by:  expgt1  11373  ltexp2a  11386  expcan  11387  ltexp2  11388  leexp2  11389  expnlbnd2  11465  expmulnbnd  11466  reccn2  12345  efgt1  12672  tanhlt1  12716  ruclem2  12786  pythagtriplem13  13156  fldivp1  13221  4sqlem12  13279  sylow1lem1  15187  nrginvrcnlem  18679  iccntr  18805  icccmplem2  18807  opnreen  18815  pjthlem1  19291  pmltpclem2  19299  ovollb2lem  19337  opnmbllem  19446  volivth  19452  lhop1lem  19850  dvcnvrelem1  19854  dvcvx  19857  ftc1lem4  19876  aaliou3lem7  20219  ulmdvlem1  20269  reeff1olem  20315  pilem2  20321  pilem3  20322  tangtx  20366  tanord1  20392  tanord  20393  rplogcl  20452  logimul  20462  logcnlem3  20488  efopnlem1  20500  cxplt  20538  cxple  20539  cxpcn3lem  20584  asinsin  20685  atanlogaddlem  20706  atanlogsublem  20708  cxp2limlem  20767  cxp2lim  20768  ftalem1  20808  mersenne  20964  bposlem2  21022  bposlem6  21026  bposlem9  21029  lgsqrlem2  21079  lgsquadlem2  21092  chebbnd1lem2  21117  chebbnd1lem3  21118  chebbnd1  21119  chtppilimlem1  21120  chto1ub  21123  mulog2sumlem2  21182  chpdifbndlem1  21200  selberg3lem1  21204  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntpbnd1a  21232  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntibndlem1  21236  pntibndlem2  21238  pntibndlem3  21239  pntibnd  21240  pntlemb  21244  pntlemr  21249  pntlemf  21252  pnt  21261  ostth2lem1  21265  ostth2lem3  21282  ostth2lem4  21283  eupap1  21651  pjhthlem1  22846  sqsscirc1  24259  xrge0iifiso  24274  zetacvg  24752  lgamucov  24775  lgamcvg2  24792  mblfinlem  26143  itg2gt0cn  26159  ftc1cnnclem  26177  cntotbnd  26395  pellexlem5  26786  pellfundex  26839  pellfundrp  26841  rmspecfund  26862  monotuz  26894  jm3.1lem2  26979  jm3.1lem3  26980  stoweidlem7  27623  stoweidlem11  27627  stoweidlem13  27629  stoweidlem14  27630  stoweidlem26  27642  stoweidlem42  27658  stoweidlem52  27668  stoweidlem59  27675  stoweidlem60  27676  stoweidlem62  27678  wallispilem4  27684  wallispi  27686  stirlinglem1  27690  stirlinglem3  27692  stirlinglem6  27695  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem11  27700

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttrn 9021

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081