Theorem lttrd 9524

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 9443	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1218	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 679	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   class class class wbr 4287   RRcr 9273   < clt 9410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-pre-lttrn 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415

This theorem is referenced by:  expgt1  11894  ltexp2a  11907  expcan  11908  ltexp2  11909  leexp2  11910  expnlbnd2  11987  expmulnbnd  11988  reccn2  13066  efgt1  13392  tanhlt1  13436  ruclem2  13506  pythagtriplem13  13886  fldivp1  13951  4sqlem12  14009  sylow1lem1  16088  nrginvrcnlem  20246  iccntr  20373  icccmplem2  20375  opnreen  20383  pjthlem1  20899  pmltpclem2  20908  ovollb2lem  20946  opnmbllem  21056  volivth  21062  lhop1lem  21460  dvcnvrelem1  21464  dvcvx  21467  ftc1lem4  21486  aaliou3lem7  21790  ulmdvlem1  21840  reeff1olem  21886  pilem2  21892  pilem3  21893  tangtx  21942  tanord1  21968  tanord  21969  rplogcl  22028  logimul  22038  logcnlem3  22064  efopnlem1  22076  cxplt  22114  cxple  22115  cxpcn3lem  22160  asinsin  22262  atanlogaddlem  22283  atanlogsublem  22285  cxp2limlem  22344  cxp2lim  22345  ftalem1  22385  mersenne  22541  bposlem2  22599  bposlem6  22603  bposlem9  22606  lgsqrlem2  22656  lgsquadlem2  22669  chebbnd1lem2  22694  chebbnd1lem3  22695  chebbnd1  22696  chtppilimlem1  22697  chto1ub  22700  mulog2sumlem2  22759  chpdifbndlem1  22777  selberg3lem1  22781  pntrlog2bndlem2  22802  pntrlog2bndlem4  22804  pntpbnd1a  22809  pntpbnd1  22810  pntpbnd2  22811  pntibndlem1  22813  pntibndlem2  22815  pntibndlem3  22816  pntibnd  22817  pntlemb  22821  pntlemr  22826  pntlemf  22829  pnt  22838  ostth2lem1  22842  ostth2lem3  22859  ostth2lem4  22860  eupap1  23548  pjhthlem1  24745  sqsscirc1  26290  xrge0iifiso  26317  sgnsub  26879  signslema  26915  zetacvg  26953  lgamucov  26976  lgamcvg2  26993  opnmbllem0  28380  itg2gt0cn  28400  ftc1cnnclem  28418  ftc1anc  28428  cntotbnd  28648  pellexlem5  29127  pellfundex  29180  pellfundrp  29182  rmspecfund  29203  monotuz  29235  jm3.1lem2  29320  jm3.1lem3  29321  stoweidlem7  29755  stoweidlem11  29759  stoweidlem13  29761  stoweidlem14  29762  stoweidlem26  29774  stoweidlem42  29790  stoweidlem52  29800  stoweidlem59  29807  stoweidlem60  29808  stoweidlem62  29810  wallispilem4  29816  wallispi  29818  stirlinglem1  29822  stirlinglem3  29824  stirlinglem6  29827  stirlinglem7  29828  stirlinglem10  29831  stirlinglem11  29832  elfzom1elp1fzo  30171  wwlkext2clwwlk  30418  frgraogt3nreg  30666  friendshipgt3  30667