Theorem lttrd 9743

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 9661	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1227	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 679	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1802   class class class wbr 4434   RRcr 9491   < clt 9628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-resscn 9549  ax-pre-lttrn 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633

This theorem is referenced by:  expgt1  12180  ltexp2a  12193  expcan  12194  ltexp2  12195  leexp2  12196  expnlbnd2  12273  expmulnbnd  12274  reccn2  13395  efgt1  13725  tanhlt1  13769  ruclem2  13839  pythagtriplem13  14225  fldivp1  14290  4sqlem12  14348  sylow1lem1  16489  telgsums  16893  chfacffsupp  19227  chfacfscmul0  19229  chfacfpmmul0  19233  nrginvrcnlem  21069  iccntr  21196  icccmplem2  21198  opnreen  21206  pjthlem1  21722  pmltpclem2  21731  ovollb2lem  21769  opnmbllem  21880  volivth  21886  lhop1lem  22284  dvcnvrelem1  22288  dvcvx  22291  ftc1lem4  22310  aaliou3lem7  22614  ulmdvlem1  22664  reeff1olem  22710  pilem2  22716  pilem3  22717  tangtx  22767  tanord1  22793  tanord  22794  rplogcl  22858  logimul  22868  logcnlem3  22894  efopnlem1  22906  cxplt  22944  cxple  22945  cxpcn3lem  22990  asinsin  23092  atanlogaddlem  23113  atanlogsublem  23115  cxp2limlem  23174  cxp2lim  23175  ftalem1  23215  mersenne  23371  bposlem2  23429  bposlem6  23433  bposlem9  23436  lgsqrlem2  23486  lgsquadlem2  23499  chebbnd1lem2  23524  chebbnd1lem3  23525  chebbnd1  23526  chtppilimlem1  23527  chto1ub  23530  mulog2sumlem2  23589  chpdifbndlem1  23607  selberg3lem1  23611  pntrlog2bndlem2  23632  pntrlog2bndlem4  23634  pntpbnd1a  23639  pntpbnd1  23640  pntpbnd2  23641  pntibndlem1  23643  pntibndlem2  23645  pntibndlem3  23646  pntibnd  23647  pntlemb  23651  pntlemr  23656  pntlemf  23659  pnt  23668  ostth2lem1  23672  ostth2lem3  23689  ostth2lem4  23690  wwlkext2clwwlk  24672  eupap1  24845  frgraogt3nreg  24989  friendshipgt3  24990  pjhthlem1  26178  sqsscirc1  27760  xrge0iifiso  27787  sgnsub  28353  signslema  28389  zetacvg  28427  lgamucov  28450  lgamcvg2  28467  opnmbllem0  30022  itg2gt0cn  30042  ftc1cnnclem  30060  ftc1anc  30070  cntotbnd  30264  pellexlem5  30741  pellfundex  30794  pellfundrp  30796  rmspecfund  30817  monotuz  30849  jm3.1lem2  30932  jm3.1lem3  30933  prmunb2  31164  isprm7  31165  neglt  31416  lptre2pt  31554  0ellimcdiv  31563  ioodvbdlimc1lem1  31632  iblspltprt  31662  itgspltprt  31668  stoweidlem7  31678  stoweidlem11  31682  stoweidlem13  31684  stoweidlem14  31685  stoweidlem26  31697  stoweidlem42  31713  stoweidlem52  31723  stoweidlem59  31730  stoweidlem60  31731  stoweidlem62  31733  wallispilem4  31739  wallispi  31741  stirlinglem1  31745  stirlinglem3  31747  stirlinglem6  31750  stirlinglem7  31751  stirlinglem10  31754  stirlinglem11  31755  dirkercncflem1  31774  dirkercncflem2  31775  fourierdlem10  31788  fourierdlem11  31789  fourierdlem12  31790  fourierdlem42  31820  fourierdlem47  31825  fourierdlem50  31828  fourierdlem51  31829  fourierdlem73  31851  fourierdlem79  31857  fourierdlem83  31861  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882  sqwvfoura  31900  sqwvfourb  31901  fouriersw  31903  imo72b2  37645