Theorem lttrd 9738

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 9657	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1228	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 679	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487   < clt 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttrn 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629

This theorem is referenced by:  expgt1  12168  ltexp2a  12181  expcan  12182  ltexp2  12183  leexp2  12184  expnlbnd2  12261  expmulnbnd  12262  reccn2  13378  efgt1  13708  tanhlt1  13752  ruclem2  13822  pythagtriplem13  14206  fldivp1  14271  4sqlem12  14329  sylow1lem1  16414  telgsums  16813  chfacffsupp  19124  chfacfscmul0  19126  chfacfpmmul0  19130  nrginvrcnlem  20934  iccntr  21061  icccmplem2  21063  opnreen  21071  pjthlem1  21587  pmltpclem2  21596  ovollb2lem  21634  opnmbllem  21745  volivth  21751  lhop1lem  22149  dvcnvrelem1  22153  dvcvx  22156  ftc1lem4  22175  aaliou3lem7  22479  ulmdvlem1  22529  reeff1olem  22575  pilem2  22581  pilem3  22582  tangtx  22631  tanord1  22657  tanord  22658  rplogcl  22717  logimul  22727  logcnlem3  22753  efopnlem1  22765  cxplt  22803  cxple  22804  cxpcn3lem  22849  asinsin  22951  atanlogaddlem  22972  atanlogsublem  22974  cxp2limlem  23033  cxp2lim  23034  ftalem1  23074  mersenne  23230  bposlem2  23288  bposlem6  23292  bposlem9  23295  lgsqrlem2  23345  lgsquadlem2  23358  chebbnd1lem2  23383  chebbnd1lem3  23384  chebbnd1  23385  chtppilimlem1  23386  chto1ub  23389  mulog2sumlem2  23448  chpdifbndlem1  23466  selberg3lem1  23470  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem4  23493  pntpbnd1a  23498  pntpbnd1  23499  pntpbnd2  23500  pntibndlem1  23502  pntibndlem2  23504  pntibndlem3  23505  pntibnd  23506  pntlemb  23510  pntlemr  23515  pntlemf  23518  pnt  23527  ostth2lem1  23531  ostth2lem3  23548  ostth2lem4  23549  wwlkext2clwwlk  24479  eupap1  24652  frgraogt3nreg  24797  friendshipgt3  24798  pjhthlem1  25985  sqsscirc1  27526  xrge0iifiso  27553  sgnsub  28123  signslema  28159  zetacvg  28197  lgamucov  28220  lgamcvg2  28237  opnmbllem0  29627  itg2gt0cn  29647  ftc1cnnclem  29665  ftc1anc  29675  cntotbnd  29895  pellexlem5  30373  pellfundex  30426  pellfundrp  30428  rmspecfund  30449  monotuz  30481  jm3.1lem2  30564  jm3.1lem3  30565  prmunb2  30794  isprm7  30795  neglt  31044  lptre2pt  31182  0ellimcdiv  31191  ioodvbdlimc1lem1  31261  iblspltprt  31291  itgspltprt  31297  stoweidlem7  31307  stoweidlem11  31311  stoweidlem13  31313  stoweidlem14  31314  stoweidlem26  31326  stoweidlem42  31342  stoweidlem52  31352  stoweidlem59  31359  stoweidlem60  31360  stoweidlem62  31362  wallispilem4  31368  wallispi  31370  stirlinglem1  31374  stirlinglem3  31376  stirlinglem6  31379  stirlinglem7  31380  stirlinglem10  31383  stirlinglem11  31384  dirkercncflem1  31403  dirkercncflem2  31404  fourierdlem10  31417  fourierdlem11  31418  fourierdlem12  31419  fourierdlem42  31449  fourierdlem45  31452  fourierdlem50  31457  fourierdlem51  31458  fourierdlem73  31480  fourierdlem79  31486  fourierdlem83  31490  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  sqwvfoura  31529  sqwvfourb  31530  fouriersw  31532