Theorem lttrd 9519

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 9438	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1211	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 672	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1755   class class class wbr 4280   RRcr 9268   < clt 9405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-pre-lttrn 9344

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-ltxr 9410

This theorem is referenced by:  expgt1  11885  ltexp2a  11898  expcan  11899  ltexp2  11900  leexp2  11901  expnlbnd2  11978  expmulnbnd  11979  reccn2  13057  efgt1  13382  tanhlt1  13426  ruclem2  13496  pythagtriplem13  13876  fldivp1  13941  4sqlem12  13999  sylow1lem1  16076  nrginvrcnlem  20112  iccntr  20239  icccmplem2  20241  opnreen  20249  pjthlem1  20765  pmltpclem2  20774  ovollb2lem  20812  opnmbllem  20922  volivth  20928  lhop1lem  21326  dvcnvrelem1  21330  dvcvx  21333  ftc1lem4  21352  aaliou3lem7  21699  ulmdvlem1  21749  reeff1olem  21795  pilem2  21801  pilem3  21802  tangtx  21851  tanord1  21877  tanord  21878  rplogcl  21937  logimul  21947  logcnlem3  21973  efopnlem1  21985  cxplt  22023  cxple  22024  cxpcn3lem  22069  asinsin  22171  atanlogaddlem  22192  atanlogsublem  22194  cxp2limlem  22253  cxp2lim  22254  ftalem1  22294  mersenne  22450  bposlem2  22508  bposlem6  22512  bposlem9  22515  lgsqrlem2  22565  lgsquadlem2  22578  chebbnd1lem2  22603  chebbnd1lem3  22604  chebbnd1  22605  chtppilimlem1  22606  chto1ub  22609  mulog2sumlem2  22668  chpdifbndlem1  22686  selberg3lem1  22690  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem4  22713  pntpbnd1a  22718  pntpbnd1  22719  pntpbnd2  22720  pntibndlem1  22722  pntibndlem2  22724  pntibndlem3  22725  pntibnd  22726  pntlemb  22730  pntlemr  22735  pntlemf  22738  pnt  22747  ostth2lem1  22751  ostth2lem3  22768  ostth2lem4  22769  eupap1  23419  pjhthlem1  24616  sqsscirc1  26191  xrge0iifiso  26218  sgnsub  26774  signslema  26810  zetacvg  26848  lgamucov  26871  lgamcvg2  26888  opnmbllem0  28268  itg2gt0cn  28288  ftc1cnnclem  28306  ftc1anc  28316  cntotbnd  28536  pellexlem5  29016  pellfundex  29069  pellfundrp  29071  rmspecfund  29092  monotuz  29124  jm3.1lem2  29209  jm3.1lem3  29210  stoweidlem7  29645  stoweidlem11  29649  stoweidlem13  29651  stoweidlem14  29652  stoweidlem26  29664  stoweidlem42  29680  stoweidlem52  29690  stoweidlem59  29697  stoweidlem60  29698  stoweidlem62  29700  wallispilem4  29706  wallispi  29708  stirlinglem1  29712  stirlinglem3  29714  stirlinglem6  29717  stirlinglem7  29718  stirlinglem10  29721  stirlinglem11  29722  elfzom1elp1fzo  30061  wwlkext2clwwlk  30308  frgraogt3nreg  30556  friendshipgt3  30557