Theorem lttrd 9796

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
lttrd.4	|- ( ph -> A < B )
lttrd.5	|- ( ph -> B < C )

Assertion

Ref	Expression
lttrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		lttrd.5	. 2 |- ( ph -> B < C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lttr 9710	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1268	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 685	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   e. wcel 1887   class class class wbr 4402   RRcr 9538   < clt 9675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-pre-lttrn 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680

This theorem is referenced by:  expgt1  12310  ltexp2a  12324  expcan  12325  ltexp2  12326  leexp2  12327  expnlbnd2  12403  expmulnbnd  12404  reccn2  13660  efgt1  14170  tanhlt1  14214  ruclem2  14284  pythagtriplem13  14777  fldivp1  14842  4sqlem12  14900  sylow1lem1  17250  telgsums  17623  chfacffsupp  19880  chfacfscmul0  19882  chfacfpmmul0  19886  nrginvrcnlem  21693  iccntr  21839  icccmplem2  21841  opnreen  21849  pjthlem1  22391  pmltpclem2  22400  ovollb2lem  22441  opnmbllem  22559  volivth  22565  lhop1lem  22965  dvcnvrelem1  22969  dvcvx  22972  ftc1lem4  22991  aaliou3lem7  23305  ulmdvlem1  23355  reeff1olem  23401  pilem2  23407  pilem2OLD  23408  pilem3  23409  pilem3OLD  23410  tangtx  23460  tanord1  23486  tanord  23487  rplogcl  23553  logimul  23563  logcnlem3  23589  efopnlem1  23601  cxplt  23639  cxple  23640  cxpcn3lem  23687  asinsin  23818  atanlogaddlem  23839  atanlogsublem  23841  cxp2limlem  23901  cxp2lim  23902  zetacvg  23940  lgamucov  23963  lgamcvg2  23980  ftalem1  23997  mersenne  24155  bposlem2  24213  bposlem6  24217  bposlem9  24220  lgsqrlem2  24270  lgsquadlem2  24283  chebbnd1lem2  24308  chebbnd1lem3  24309  chebbnd1  24310  chtppilimlem1  24311  chto1ub  24314  mulog2sumlem2  24373  chpdifbndlem1  24391  selberg3lem1  24395  pntrlog2bndlem2  24416  pntrlog2bndlem4  24418  pntpbnd1a  24423  pntpbnd1  24424  pntpbnd2  24425  pntibndlem1  24427  pntibndlem2  24429  pntibndlem3  24430  pntibnd  24431  pntlemb  24435  pntlemr  24440  pntlemf  24443  pnt  24452  ostth2lem1  24456  ostth2lem3  24473  ostth2lem4  24474  wwlkext2clwwlk  25531  eupap1  25704  frgraogt3nreg  25848  friendshipgt3  25849  pjhthlem1  27044  psgnfzto1stlem  28613  1smat1  28630  sqsscirc1  28714  xrge0iifiso  28741  sgnsub  29415  signslema  29451  poimirlem6  31946  poimirlem7  31947  poimirlem8  31948  poimirlem15  31955  poimirlem20  31960  poimirlem28  31968  opnmbllem0  31976  itg2gt0cn  31997  ftc1cnnclem  32015  ftc1anc  32025  cntotbnd  32128  pellexlem5  35677  pellfundex  35734  pellfundrp  35736  rmspecfund  35757  monotuz  35789  jm3.1lem2  35873  jm3.1lem3  35874  imo72b2  36619  prmunb2  36659  isprm7  36660  neglt  37494  ltadd12dd  37566  lptre2pt  37720  0ellimcdiv  37730  ioodvbdlimc1lem1  37803  ioodvbdlimc1lem1OLD  37805  iblspltprt  37850  itgspltprt  37856  stoweidlem7  37867  stoweidlem11  37871  stoweidlem13  37873  stoweidlem14  37874  stoweidlem26  37886  stoweidlem42  37903  stoweidlem52  37913  stoweidlem59  37920  stoweidlem60  37921  stoweidlem62  37923  stoweidlem62OLD  37924  wallispilem4  37930  wallispi  37932  stirlinglem1  37936  stirlinglem3  37938  stirlinglem6  37941  stirlinglem7  37942  stirlinglem10  37945  stirlinglem11  37946  dirkercncflem1  37965  dirkercncflem2  37966  fourierdlem10  37979  fourierdlem11  37980  fourierdlem12  37981  fourierdlem42  38012  fourierdlem42OLD  38013  fourierdlem47  38017  fourierdlem50  38020  fourierdlem51  38021  fourierdlem73  38043  fourierdlem79  38049  fourierdlem83  38053  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  sqwvfoura  38092  sqwvfourb  38093  fouriersw  38095  hoidmvlelem1  38417  hoiqssbllem2  38445  hspmbllem1  38448