MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsubaddd Structured version   Unicode version

Theorem ltsubaddd 10049
Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltsubaddd  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  <  C  <->  A  <  ( C  +  B ) ) )

Proof of Theorem ltsubaddd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltadd1d.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 ltsubadd 9923 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  B
)  <  C  <->  A  <  ( C  +  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  <  C  <->  A  <  ( C  +  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9395    + caddc 9399    < clt 9532    - cmin 9709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-ltxr 9537  df-sub 9711  df-neg 9712
This theorem is referenced by:  ltaddsublt  10077  suprzcl  10835  2submod  11880  hashdvds  13971  prmreclem6  14103  4sqlem6  14125  ovolshftlem1  21127  opnmbllem  21217  mbfaddlem  21274  itg2monolem1  21364  dvlt0  21613  lhop1  21622  plydivlem3  21897  efif1olem1  22134  ang180lem2  22342  atanlogsublem  22446  bposlem1  22759  bcm1n  26244  subfacval3  27241  supaddc  28585  opnmbllem0  28595  itg2addnclem  28611  itg2gt0cn  28615  wallispilem3  30030
  Copyright terms: Public domain W3C validator