Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsrpr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltsrpr 9506
 Description: Ordering of signed reals in terms of positive reals. (Contributed by NM, 20-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsrpr

Proof of Theorem ltsrpr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enrex 9496 . 2
2 enrer 9494 . . 3
3 erdm 7378 . . 3
42, 3ax-mp 5 . 2
5 df-nr 9486 . 2
6 ltrelsr 9497 . 2
7 ltrelpr 9428 . 2
8 0npr 9422 . 2
9 dmplp 9442 . 2
10 df-ltr 9489 . . 3
11 addclpr 9448 . . . . . . 7
1211ad2ant2lr 755 . . . . . 6
13 addclpr 9448 . . . . . . 7
1413ad2ant2lr 755 . . . . . 6
1512, 14anim12ci 571 . . . . 5
1615an4s 836 . . . 4
17 enreceq 9495 . . . . . 6
18 enreceq 9495 . . . . . . 7
19 eqcom 2460 . . . . . . 7
2018, 19syl6bb 265 . . . . . 6
2117, 20bi2anan9 885 . . . . 5
22 oveq12 6304 . . . . . 6
23 addcompr 9451 . . . . . . . . . 10
2423oveq1i 6305 . . . . . . . . 9
25 addasspr 9452 . . . . . . . . 9
26 addasspr 9452 . . . . . . . . 9
2724, 25, 263eqtr3i 2483 . . . . . . . 8
2827oveq2i 6306 . . . . . . 7
29 addasspr 9452 . . . . . . 7
30 addasspr 9452 . . . . . . 7
3128, 29, 303eqtr4i 2485 . . . . . 6
32 addcompr 9451 . . . . . . . . . 10
3332oveq1i 6305 . . . . . . . . 9
34 addasspr 9452 . . . . . . . . 9
35 addasspr 9452 . . . . . . . . 9
3633, 34, 353eqtr3i 2483 . . . . . . . 8
3736oveq2i 6306 . . . . . . 7
38 addasspr 9452 . . . . . . 7
39 addasspr 9452 . . . . . . 7
4037, 38, 393eqtr4i 2485 . . . . . 6
4122, 31, 403eqtr4g 2512 . . . . 5
4221, 41syl6bi 232 . . . 4
43 ovex 6323 . . . . 5
44 ovex 6323 . . . . 5
45 ltapr 9475 . . . . 5
46 ovex 6323 . . . . 5
47 addcompr 9451 . . . . 5
48 ovex 6323 . . . . 5
4943, 44, 45, 46, 47, 48caovord3 6487 . . . 4
5016, 42, 49syl6an 548 . . 3
511, 2, 5, 10, 50brecop 7461 . 2
521, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 51brecop2 7462 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  cop 3976   class class class wbr 4405   cxp 4835   cdm 4837  (class class class)co 6295   wer 7365  cec 7366  cnp 9289   cpp 9291   cltp 9293   cer 9294  cnr 9295   cltr 9301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-ni 9302  df-pli 9303  df-mi 9304  df-lti 9305  df-plpq 9338  df-mpq 9339  df-ltpq 9340  df-enq 9341  df-nq 9342  df-erq 9343  df-plq 9344  df-mq 9345  df-1nq 9346  df-rq 9347  df-ltnq 9348  df-np 9411  df-plp 9413  df-ltp 9415  df-enr 9485  df-nr 9486  df-ltr 9489 This theorem is referenced by:  gt0srpr  9507  ltsosr  9523  0lt1sr  9524  ltasr  9529  mappsrpr  9537  ltpsrpr  9538  map2psrpr  9539
 Copyright terms: Public domain W3C validator