Theorem ltsor 6413

Description: 'Less than' is a strict ordering on real subset of complex numbers. Note: use ltso 6681 and not this one after the complex number postulates are derived, in order to maintain a "clean" derivation of complex number theorems directly from postulates. The artificial right conjunct is intended to help discourage its accidental use in place of ltso 6681.

Assertion

Ref	Expression
ltsor	|- ( <R Or RR /\ RR = RR)

Proof of Theorem ltsor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6402	. . . 4 |- (x e. RR <-> E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x))
2		elreal 6402	. . . 4 |- (y e. RR <-> E.v(v e. R. /\ <.v, 0R>. = y))
3		elreal 6402	. . . 4 |- (z e. RR <-> E.u(u e. R. /\ <.u, 0R>. = z))
4		breq1 3341	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> x <R <.v, 0R>.))
5		eqeq1 1890	. . . . . . . 8 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. <-> x = <.v, 0R>.))
6		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.v, 0R>. <R <.w, 0R>. <-> <.v, 0R>. <R x))
7	5, 6	orbi12d 689	. . . . . . 7 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.) <-> (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)))
8	7	notbid 673	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> (-. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.) <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)))
9	4, 8	bibi12d 691	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)) <-> (x <R <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x))))
10	4	anbi1d 679	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) <-> (x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.)))
11		breq1 3341	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. <R <.u, 0R>. <-> x <R <.u, 0R>.))
12	10, 11	imbi12d 688	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. = x -> (((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. <R <.u, 0R>.) <-> ((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.)))
13	9, 12	anbi12d 690	. . . 4 |- (<.w, 0R>. = x -> (((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)) /\ ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. <R <.u, 0R>.)) <-> ((x <R <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)) /\ ((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.))))
14		breq2 3342	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. = y -> (x <R <.v, 0R>. <-> x <R y))
15		eqeq2 1893	. . . . . . . 8 |- (<.v, 0R>. = y -> (x = <.v, 0R>. <-> x = y))
16		breq1 3341	. . . . . . . 8 |- (<.v, 0R>. = y -> (<.v, 0R>. <R x <-> y <R x))
17	15, 16	orbi12d 689	. . . . . . 7 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x) <-> (x = y \/ y <R x)))
18	17	notbid 673	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. = y -> (-. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x) <-> -. (x = y \/ y <R x)))
19	14, 18	bibi12d 691	. . . . 5 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x <R <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)) <-> (x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x))))
20		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (<.v, 0R>. = y -> (<.v, 0R>. <R <.u, 0R>. <-> y <R <.u, 0R>.))
21	14, 20	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (<.v, 0R>. = y -> ((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) <-> (x <R y /\ y <R <.u, 0R>.)))
22	21	imbi1d 675	. . . . 5 |- (<.v, 0R>. = y -> (((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.) <-> ((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.)))
23	19, 22	anbi12d 690	. . . 4 |- (<.v, 0R>. = y -> (((x <R <.v, 0R>. <-> -. (x = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R x)) /\ ((x <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.)) <-> ((x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)) /\ ((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.))))
24		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (<.u, 0R>. = z -> (y <R <.u, 0R>. <-> y <R z))
25	24	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (<.u, 0R>. = z -> ((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) <-> (x <R y /\ y <R z)))
26		breq2 3342	. . . . . 6 |- (<.u, 0R>. = z -> (x <R <.u, 0R>. <-> x <R z))
27	25, 26	imbi12d 688	. . . . 5 |- (<.u, 0R>. = z -> (((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.) <-> ((x <R y /\ y <R z) -> x <R z)))
28	27	anbi2d 678	. . . 4 |- (<.u, 0R>. = z -> (((x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)) /\ ((x <R y /\ y <R <.u, 0R>.) -> x <R <.u, 0R>.)) <-> ((x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)) /\ ((x <R y /\ y <R z) -> x <R z))))
29		ltsosr 6355	. . . . . . . 8 |- <R Or R.
30		sotric 3615	. . . . . . . 8 |- (( <R Or R. /\ (w e. R. /\ v e. R.)) -> (w <R v <-> -. (w = v \/ v <R w)))
31	29, 30	mpan 759	. . . . . . 7 |- ((w e. R. /\ v e. R.) -> (w <R v <-> -. (w = v \/ v <R w)))
32		visset 2295	. . . . . . . 8 |- w e. _V
33		visset 2295	. . . . . . . 8 |- v e. _V
34	32, 33	ltresr 6410	. . . . . . 7 |- (<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> w <R v)
35	32	eqresr 6407	. . . . . . . . 9 |- (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. <-> w = v)
36	33, 32	ltresr 6410	. . . . . . . . 9 |- (<.v, 0R>. <R <.w, 0R>. <-> v <R w)
37	35, 36	orbi12i 277	. . . . . . . 8 |- ((<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.) <-> (w = v \/ v <R w))
38	37	notbii 204	. . . . . . 7 |- (-. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.) <-> -. (w = v \/ v <R w))
39	31, 34, 38	3bitr4g 614	. . . . . 6 |- ((w e. R. /\ v e. R.) -> (<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)))
40	39	3adant3 896	. . . . 5 |- ((w e. R. /\ v e. R. /\ u e. R.) -> (<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)))
41		ltrelsr 6332	. . . . . . 7 |- <R C_ (R. X. R.)
42		visset 2295	. . . . . . 7 |- u e. _V
43	32, 29, 41, 33, 42	sotri 4315	. . . . . 6 |- ((w <R v /\ v <R u) -> w <R u)
44	33, 42	ltresr 6410	. . . . . . 7 |- (<.v, 0R>. <R <.u, 0R>. <-> v <R u)
45	34, 44	anbi12i 540	. . . . . 6 |- ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) <-> (w <R v /\ v <R u))
46	32, 42	ltresr 6410	. . . . . 6 |- (<.w, 0R>. <R <.u, 0R>. <-> w <R u)
47	43, 45, 46	3imtr4i 236	. . . . 5 |- ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. <R <.u, 0R>.)
48	40, 47	jctir 317	. . . 4 |- ((w e. R. /\ v e. R. /\ u e. R.) -> ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. <-> -. (<.w, 0R>. = <.v, 0R>. \/ <.v, 0R>. <R <.w, 0R>.)) /\ ((<.w, 0R>. <R <.v, 0R>. /\ <.v, 0R>. <R <.u, 0R>.) -> <.w, 0R>. <R <.u, 0R>.)))
49	1, 2, 3, 13, 23, 28, 48	3gencl 2320	. . 3 |- ((x e. RR /\ y e. RR /\ z e. RR) -> ((x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)) /\ ((x <R y /\ y <R z) -> x <R z)))
50	49	so 3620	. 2 |- <R Or RR
51		eqid 1884	. 2 |- RR = RR
52	50, 51	pm3.2i 307	1 |- ( <R Or RR /\ RR = RR)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   class class class wbr 3338   Or wor 3590  R.cnr 6145  0Rc0r 6146   <R cltr 6151  RRcr 6385   <R cltrr 6390

This theorem is referenced by:  pre-axlttri 6440  pre-axlttrn 6441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-r 6396  df-lt 6399

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