MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsopr Unicode version

Theorem ltsopr 8865
Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsopr  |-  <P  Or  P.

Proof of Theorem ltsopr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssirr 3407 . . . 4  |-  -.  x  C.  x
2 ltprord 8863 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( x  <P  x  <->  x 
C.  x ) )
31, 2mtbiri 295 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  -.  x  <P  x
)
43anidms 627 . 2  |-  ( x  e.  P.  ->  -.  x  <P  x )
5 psstr 3411 . . 3  |-  ( ( x  C.  y  /\  y  C.  z )  ->  x  C.  z )
6 ltprord 8863 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  <P  y  <->  x 
C.  y ) )
763adant3 977 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
x  <P  y  <->  x  C.  y ) )
8 ltprord 8863 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  <P  z  <->  y 
C.  z ) )
983adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
y  <P  z  <->  y  C.  z ) )
107, 9anbi12d 692 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  <P  y  /\  y  <P  z )  <-> 
( x  C.  y  /\  y  C.  z ) ) )
11 ltprord 8863 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  <P  z  <->  x 
C.  z ) )
12113adant2 976 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
x  <P  z  <->  x  C.  z ) )
1310, 12imbi12d 312 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( ( x  <P  y  /\  y  <P  z
)  ->  x  <P  z )  <->  ( ( x 
C.  y  /\  y  C.  z )  ->  x  C.  z ) ) )
145, 13mpbiri 225 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  <P  y  /\  y  <P  z )  ->  x  <P  z
) )
15 psslinpr 8864 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  C.  y  \/  x  =  y  \/  y  C.  x ) )
16 biidd 229 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  =  y  <-> 
x  =  y ) )
17 ltprord 8863 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
1817ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
196, 16, 183orbi123d 1253 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  <P  y  \/  x  =  y  \/  y  <P  x
)  <->  ( x  C.  y  \/  x  =  y  \/  y  C.  x ) ) )
2015, 19mpbird 224 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  <P  y  \/  x  =  y  \/  y  <P  x ) )
214, 14, 20issoi 4494 1  |-  <P  Or  P.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    e. wcel 1721    C. wpss 3281   class class class wbr 4172    Or wor 4462   P.cnp 8690    <P cltp 8694
This theorem is referenced by:  ltapr  8878  addcanpr  8879  suplem2pr  8886  ltsosr  8925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-mi 8707  df-lti 8708  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-ltp 8818
  Copyright terms: Public domain W3C validator