MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsopr Structured version   Unicode version

Theorem ltsopr 9422
Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsopr  |-  <P  Or  P.

Proof of Theorem ltsopr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssirr 3609 . . . 4  |-  -.  x  C.  x
2 ltprord 9420 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( x  <P  x  <->  x 
C.  x ) )
31, 2mtbiri 303 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  -.  x  <P  x
)
43anidms 645 . 2  |-  ( x  e.  P.  ->  -.  x  <P  x )
5 psstr 3613 . . 3  |-  ( ( x  C.  y  /\  y  C.  z )  ->  x  C.  z )
6 ltprord 9420 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  <P  y  <->  x 
C.  y ) )
763adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
x  <P  y  <->  x  C.  y
) )
8 ltprord 9420 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  <P  z  <->  y 
C.  z ) )
983adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
y  <P  z  <->  y  C.  z
) )
107, 9anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  <P  y  /\  y  <P  z )  <-> 
( x  C.  y  /\  y  C.  z ) ) )
11 ltprord 9420 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  <P  z  <->  x 
C.  z ) )
12113adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
x  <P  z  <->  x  C.  z
) )
1310, 12imbi12d 320 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( ( x  <P  y  /\  y  <P  z
)  ->  x  <P  z )  <->  ( ( x 
C.  y  /\  y  C.  z )  ->  x  C.  z ) ) )
145, 13mpbiri 233 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  <P  y  /\  y  <P  z )  ->  x  <P  z
) )
15 psslinpr 9421 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  C.  y  \/  x  =  y  \/  y  C.  x ) )
16 biidd 237 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  =  y  <-> 
x  =  y ) )
17 ltprord 9420 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
1817ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
196, 16, 183orbi123d 1298 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  <P  y  \/  x  =  y  \/  y  <P  x
)  <->  ( x  C.  y  \/  x  =  y  \/  y  C.  x
) ) )
2015, 19mpbird 232 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  <P  y  \/  x  =  y  \/  y  <P  x ) )
214, 14, 20issoi 4837 1  |-  <P  Or  P.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    e. wcel 1767    C. wpss 3482   class class class wbr 4453    Or wor 4805   P.cnp 9249    <P cltp 9253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ni 9262  df-mi 9264  df-lti 9265  df-ltpq 9300  df-enq 9301  df-nq 9302  df-ltnq 9308  df-np 9371  df-ltp 9375
This theorem is referenced by:  ltapr  9435  addcanpr  9436  suplem2pr  9443  ltsosr  9483
  Copyright terms: Public domain W3C validator