Theorem ltsopr 6288

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	|- <P Or P.

Proof of Theorem ltsopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 2708	. . . 4 |- -. x C. x
2		ltprord 6286	. . . 4 |- ((x e. P. /\ x e. P.) -> (x <P x <-> x C. x))
3	1, 2	mtbiri 785	. . 3 |- ((x e. P. /\ x e. P.) -> -. x <P x)
4	3	anidms 480	. 2 |- (x e. P. -> -. x <P x)
5		psstr 2714	. . 3 |- ((x C. y /\ y C. z) -> x C. z)
6		ltprord 6286	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x <P y <-> x C. y))
7	6	3adant3 896	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (x <P y <-> x C. y))
8		ltprord 6286	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y <P z <-> y C. z))
9	8	3adant1 894	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (y <P z <-> y C. z))
10	7, 9	anbi12d 690	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> ((x <P y /\ y <P z) <-> (x C. y /\ y C. z)))
11		ltprord 6286	. . . . 5 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x <P z <-> x C. z))
12	11	3adant2 895	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (x <P z <-> x C. z))
13	10, 12	imbi12d 688	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> (((x <P y /\ y <P z) -> x <P z) <-> ((x C. y /\ y C. z) -> x C. z)))
14	5, 13	mpbiri 211	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P. /\ z e. P.) -> ((x <P y /\ y <P z) -> x <P z))
15		psslinpr 6287	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x C. y \/ x = y \/ y C. x))
16		biidd 188	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x = y <-> x = y))
17		ltprord 6286	. . . . 5 |- ((y e. P. /\ x e. P.) -> (y <P x <-> y C. x))
18	17	ancoms 484	. . . 4 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (y <P x <-> y C. x))
19	6, 16, 18	3orbi123d 1167	. . 3 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x <P y \/ x = y \/ y <P x) <-> (x C. y \/ x = y \/ y C. x)))
20	15, 19	mpbird 213	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x <P y \/ x = y \/ y <P x))
21	4, 14, 20	itlso 3619	1 |- <P Or P.

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C. wpss 2594   class class class wbr 3338   Or wor 3590  P.cnp 6137   <P cltp 6141

This theorem is referenced by:  ltapr 6303  addcanpr 6304  suplem2pr 6314  ltsosr 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-lti 6155  df-enq 6189  df-nq 6190  df-ltq 6194  df-np 6238  df-ltp 6242

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