MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsopi Structured version   Unicode version

Theorem ltsopi 9255
Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsopi  |-  <N  Or  N.

Proof of Theorem ltsopi
StepHypRef Expression
1 df-ni 9239 . . . 4  |-  N.  =  ( om  \  { (/) } )
2 difss 3624 . . . . 5  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C_  om
3 omsson 6675 . . . . 5  |-  om  C_  On
42, 3sstri 3506 . . . 4  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C_  On
51, 4eqsstri 3527 . . 3  |-  N.  C_  On
6 epweon 6590 . . . 4  |-  _E  We  On
7 weso 4863 . . . 4  |-  (  _E  We  On  ->  _E  Or  On )
86, 7ax-mp 5 . . 3  |-  _E  Or  On
9 soss 4811 . . 3  |-  ( N.  C_  On  ->  (  _E  Or  On  ->  _E  Or  N. ) )
105, 8, 9mp2 9 . 2  |-  _E  Or  N.
11 df-lti 9242 . . . 4  |-  <N  =  (  _E  i^i  ( N.  X.  N. ) )
12 soeq1 4812 . . . 4  |-  (  <N  =  (  _E  i^i  ( N.  X.  N. )
)  ->  (  <N  Or 
N. 
<->  (  _E  i^i  ( N.  X.  N. ) )  Or  N. ) )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  (  <N  Or  N.  <->  (  _E  i^i  ( N.  X.  N. )
)  Or  N. )
14 soinxp 5056 . . 3  |-  (  _E  Or  N.  <->  (  _E  i^i  ( N.  X.  N. ) )  Or  N. )
1513, 14bitr4i 252 . 2  |-  (  <N  Or  N.  <->  _E  Or  N. )
1610, 15mpbir 209 1  |-  <N  Or  N.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1374    \ cdif 3466    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   {csn 4020    _E cep 4782    Or wor 4792    We wwe 4830   Oncon0 4871    X. cxp 4990   omcom 6671   N.cnpi 9211    <N clti 9214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-om 6672  df-ni 9239  df-lti 9242
This theorem is referenced by:  indpi  9274  nqereu  9296  ltsonq  9336  archnq  9347
  Copyright terms: Public domain W3C validator