MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Structured version   Unicode version

Theorem ltso 9447
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 9438 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <  x
) ) )
2 lttr 9443 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4668 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    Or wor 4635   RRcr 9273    < clt 9410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415
This theorem is referenced by:  gtso  9448  lttri2  9449  lttri3  9450  lttri4  9451  ltnr  9461  ltnsym2  9466  fimaxre  10269  suprcl  10282  suprub  10283  suprlub  10284  suprzcl2  10937  suprzub  10938  fseqsupcl  11791  isercolllem1  13134  isercolllem2  13135  summolem2  13185  zsum  13187  fsumcvg3  13198  mertenslem2  13337  cnso  13521  gcdval  13684  pczpre  13906  prmreclem1  13969  ramz  14078  gsumval3OLD  16373  gsumval3  16376  retos  18023  mbfsup  21117  mbfinf  21118  itg2monolem1  21203  itg2mono  21206  dvgt0lem2  21450  dvgt0  21451  plyeq0lem  21653  dgrval  21671  dgrcl  21676  dgrub  21677  dgrlb  21679  logccv  22083  ex-po  23593  ssnnssfz  26027  lmdvg  26335  oddpwdc  26689  ballotlemi  26835  ballotlemiex  26836  ballotlemsup  26839  ballotlemimin  26840  ballotlemfrcn0  26864  ballotlemirc  26866  erdszelem3  27033  erdszelem4  27034  erdszelem5  27035  erdszelem6  27036  erdszelem8  27038  erdszelem9  27039  erdszelem11  27041  erdsze2lem1  27043  erdsze2lem2  27044  supfz  27337  inffz  27338  prodmolem2  27399  zprod  27401  heicant  28379  mblfinlem3  28383  mblfinlem4  28384  ismblfin  28385  gtinf  28467  incsequz2  28598  totbndbnd  28641  prdsbnd  28645  rencldnfilem  29112  pellfundval  29174  dgraaval  29454  dgraaf  29457  infrglb  29724  ssnn0ssfz  30693  supfirege  30695  suprfinzcl  30696  ssnn0fi  30697  fsuppmapnn0fiublem  30747
  Copyright terms: Public domain W3C validator