MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Structured version   Unicode version

Theorem ltso 9661
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 9652 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <  x
) ) )
2 lttr 9657 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4832 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    Or wor 4799   RRcr 9487    < clt 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629
This theorem is referenced by:  gtso  9662  lttri2  9663  lttri3  9664  lttri4  9665  ltnr  9675  ltnsym2  9680  fimaxre  10486  suprcl  10499  suprub  10500  suprlub  10501  supfirege  10521  suprfinzcl  10971  suprzcl2  11168  suprzub  11169  fseqsupcl  12050  ssnn0fi  12057  fsuppmapnn0fiublem  12059  isercolllem1  13443  isercolllem2  13444  summolem2  13494  zsum  13496  fsumcvg3  13507  mertenslem2  13650  cnso  13834  gcdval  13998  pczpre  14223  prmreclem1  14286  ramz  14395  gsumval3OLD  16696  gsumval3  16699  retos  18418  mbfsup  21803  mbfinf  21804  itg2monolem1  21889  itg2mono  21892  dvgt0lem2  22136  dvgt0  22137  plyeq0lem  22339  dgrval  22357  dgrcl  22362  dgrub  22363  dgrlb  22365  logccv  22769  ex-po  24830  ssnnssfz  27262  lmdvg  27568  oddpwdc  27930  ballotlemi  28076  ballotlemiex  28077  ballotlemsup  28080  ballotlemimin  28081  ballotlemfrcn0  28105  ballotlemirc  28107  erdszelem3  28274  erdszelem4  28275  erdszelem5  28276  erdszelem6  28277  erdszelem8  28279  erdszelem9  28280  erdszelem11  28282  erdsze2lem1  28284  erdsze2lem2  28285  supfz  28579  inffz  28580  prodmolem2  28641  zprod  28643  heicant  29624  mblfinlem3  29628  mblfinlem4  29629  ismblfin  29630  gtinf  29712  incsequz2  29843  totbndbnd  29886  prdsbnd  29890  rencldnfilem  30356  pellfundval  30418  dgraaval  30698  dgraaf  30701  fzisoeu  31077  infrglb  31140  fourierdlem25  31432  fourierdlem31  31438  fourierdlem36  31443  fourierdlem37  31444  fourierdlem42  31449  fourierdlem54  31461  fourierdlem79  31486  ssnn0ssfz  32002
  Copyright terms: Public domain W3C validator