MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Structured version   Unicode version

Theorem ltso 9668
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 9659 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <  x
) ) )
2 lttr 9664 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4822 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    Or wor 4789   RRcr 9494    < clt 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636
This theorem is referenced by:  gtso  9669  lttri2  9670  lttri3  9671  lttri4  9672  ltnr  9682  ltnsym2  9687  fimaxre  10497  suprcl  10510  suprub  10511  suprlub  10512  supfirege  10532  suprfinzcl  10985  suprzcl2  11183  suprzub  11184  fseqsupcl  12069  ssnn0fi  12076  fsuppmapnn0fiublem  12078  isercolllem1  13469  isercolllem2  13470  summolem2  13520  zsum  13522  fsumcvg3  13533  mertenslem2  13676  prodmolem2  13724  zprod  13726  cnso  13962  gcdval  14128  pczpre  14353  prmreclem1  14416  ramz  14525  gsumval3OLD  16887  gsumval3  16890  retos  18632  mbfsup  22049  mbfinf  22050  itg2monolem1  22135  itg2mono  22138  dvgt0lem2  22382  dvgt0  22383  plyeq0lem  22585  dgrval  22603  dgrcl  22608  dgrub  22609  dgrlb  22611  logccv  23022  ex-po  25134  ssnnssfz  27575  lmdvg  27913  oddpwdc  28271  erdszelem3  28615  erdszelem4  28616  erdszelem5  28617  erdszelem6  28618  erdszelem8  28620  erdszelem9  28621  erdszelem11  28623  erdsze2lem1  28625  erdsze2lem2  28626  supfz  29085  inffz  29086  mblfinlem3  30029  mblfinlem4  30030  ismblfin  30031  incsequz2  30218  totbndbnd  30261  prdsbnd  30265  fzisoeu  31454  fourierdlem25  31868  fourierdlem31  31874  fourierdlem36  31879  fourierdlem37  31880  fourierdlem42  31885  fourierdlem79  31922  ssnn0ssfz  32806
  Copyright terms: Public domain W3C validator