MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Structured version   Unicode version

Theorem ltso 9565
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 9556 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <  x
) ) )
2 lttr 9561 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4780 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    Or wor 4747   RRcr 9391    < clt 9528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-ltxr 9533
This theorem is referenced by:  gtso  9566  lttri2  9567  lttri3  9568  lttri4  9569  ltnr  9579  ltnsym2  9584  fimaxre  10387  suprcl  10400  suprub  10401  suprlub  10402  suprzcl2  11055  suprzub  11056  fseqsupcl  11915  isercolllem1  13259  isercolllem2  13260  summolem2  13310  zsum  13312  fsumcvg3  13323  mertenslem2  13462  cnso  13646  gcdval  13809  pczpre  14031  prmreclem1  14094  ramz  14203  gsumval3OLD  16502  gsumval3  16505  retos  18172  mbfsup  21274  mbfinf  21275  itg2monolem1  21360  itg2mono  21363  dvgt0lem2  21607  dvgt0  21608  plyeq0lem  21810  dgrval  21828  dgrcl  21833  dgrub  21834  dgrlb  21836  logccv  22240  ex-po  23793  ssnnssfz  26220  lmdvg  26527  oddpwdc  26880  ballotlemi  27026  ballotlemiex  27027  ballotlemsup  27030  ballotlemimin  27031  ballotlemfrcn0  27055  ballotlemirc  27057  erdszelem3  27224  erdszelem4  27225  erdszelem5  27226  erdszelem6  27227  erdszelem8  27229  erdszelem9  27230  erdszelem11  27232  erdsze2lem1  27234  erdsze2lem2  27235  supfz  27529  inffz  27530  prodmolem2  27591  zprod  27593  heicant  28573  mblfinlem3  28577  mblfinlem4  28578  ismblfin  28579  gtinf  28661  incsequz2  28792  totbndbnd  28835  prdsbnd  28839  rencldnfilem  29306  pellfundval  29368  dgraaval  29648  dgraaf  29651  infrglb  29918  ssnn0ssfz  30888  supfirege  30891  suprfinzcl  30892  ssnn0fi  30893  fsuppmapnn0fiublem  30945
  Copyright terms: Public domain W3C validator