Theorem ltrpq 6237

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltrpq.1	|- A e. _V
ltrpq.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
ltrpq	|- (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A))

Proof of Theorem ltrpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrpq.2	. . 3 |- B e. _V
2		ltrelpq 6203	. . 3 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
3	1, 2	brel 4048	. 2 |- (A <Q B -> (A e. Q. /\ B e. Q.))
4		1q 6209	. . . . . . . . . . 11 |- 1Q e. Q.
5	4	elisseti 2301	. . . . . . . . . 10 |- 1Q e. _V
6		ltsopq 6227	. . . . . . . . . 10 |- <Q Or Q.
7	5, 6, 2	soirri 4314	. . . . . . . . 9 |- -. 1Q <Q 1Q
8		recidpq 6223	. . . . . . . . . 10 |- (A e. Q. -> (A .Q (*Q` A)) = 1Q)
9		recidpq 6223	. . . . . . . . . 10 |- (B e. Q. -> (B .Q (*Q` B)) = 1Q)
10	8, 9	breqan12rd 3355	. . . . . . . . 9 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)) <-> 1Q <Q 1Q))
11	7, 10	mtbiri 785	. . . . . . . 8 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> -. (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
12	11	adantll 428	. . . . . . 7 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> -. (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
13		recclpq 6224	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)
14		ltrpq.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
15		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
16		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
17	15, 16	ltmpq 6229	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. Q. -> (y <Q z <-> (x .Q y) <Q (x .Q z)))
18		fvex 4689	. . . . . . . . . . . 12 |- (*Q` A) e. _V
19	15, 16	mulcompq 6216	. . . . . . . . . . . 12 |- (y .Q z) = (z .Q y)
20	14, 1, 17, 18, 19	caoprord2 4990	. . . . . . . . . . 11 |- ((*Q` A) e. Q. -> (A <Q B <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
21	13, 20	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (A e. Q. -> (A <Q B <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
22	21	anbi1d 679	. . . . . . . . 9 |- (A e. Q. -> ((A <Q B /\ B e. Q.) <-> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.)))
23	22	biimpac 462	. . . . . . . 8 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.))
24		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)) -> ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)) <-> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A))))
25	24	biimprcd 173	. . . . . . . . . . 11 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> ((B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
26		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- ((*Q` B) = (*Q` A) -> (B .Q (*Q` B)) = (B .Q (*Q` A)))
27	25, 26	syl5 20	. . . . . . . . . 10 |- ((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) -> ((*Q` B) = (*Q` A) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
28	27	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> ((*Q` B) = (*Q` A) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
29		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (A .Q (*Q` A)) e. _V
30		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (B .Q (*Q` A)) e. _V
31		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (B .Q (*Q` B)) e. _V
32	29, 6, 2, 30, 31	sotri 4315	. . . . . . . . . . 11 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
33		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . 13 |- (*Q` B) e. _V
34	18, 33	ltmpq 6229	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. Q. -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) <-> (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
35	34	biimpa 460	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. Q. /\ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (B .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
36	32, 35	sylan2 500	. . . . . . . . . 10 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ (B e. Q. /\ (*Q` A) <Q (*Q` B))) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B)))
37	36	expr 418	. . . . . . . . 9 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> ((*Q` A) <Q (*Q` B) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
38	28, 37	jaod 469	. . . . . . . 8 |- (((A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` A)) /\ B e. Q.) -> (((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
39	23, 38	syl 12	. . . . . . 7 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> (((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)) -> (A .Q (*Q` A)) <Q (B .Q (*Q` B))))
40	12, 39	mtod 123	. . . . . 6 |- (((A <Q B /\ B e. Q.) /\ A e. Q.) -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B)))
41	40	expl 420	. . . . 5 |- (A <Q B -> ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
42	41	com12 14	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> (A <Q B -> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
43		sotric 3615	. . . . . 6 |- (( <Q Or Q. /\ ((*Q` B) e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.)) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
44	6, 43	mpan 759	. . . . 5 |- (((*Q` B) e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
45		recclpq 6224	. . . . 5 |- (B e. Q. -> (*Q` B) e. Q.)
46	44, 45, 13	syl2an 503	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> ((*Q` B) <Q (*Q` A) <-> -. ((*Q` B) = (*Q` A) \/ (*Q` A) <Q (*Q` B))))
47	42, 46	sylibrd 221	. . 3 |- ((B e. Q. /\ A e. Q.) -> (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A)))
48	47	ancoms 484	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A)))
49	3, 48	mpcom 60	1 |- (A <Q B -> (*Q` B) <Q (*Q` A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338   Or wor 3590  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131  1Qc1q 6132   .Q cmq 6134  *Qcrq 6135   <Q cltq 6136

This theorem is referenced by:  1pr 6269  addclprlem1 6270  reclem2pr 6309  reclem3pr 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-lti 6155  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195

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