Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltrnq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltrnq 9422
 Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltrnq

Proof of Theorem ltrnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9369 . . 3
21brel 4888 . 2
31brel 4888 . . 3
4 dmrecnq 9411 . . . . 5
5 0nnq 9367 . . . . 5
64, 5ndmfvrcl 5904 . . . 4
74, 5ndmfvrcl 5904 . . . 4
86, 7anim12ci 577 . . 3
93, 8syl 17 . 2
10 breq1 4398 . . . 4
11 fveq2 5879 . . . . 5
1211breq2d 4407 . . . 4
1310, 12bibi12d 328 . . 3
14 breq2 4399 . . . 4
15 fveq2 5879 . . . . 5
1615breq1d 4405 . . . 4
1714, 16bibi12d 328 . . 3
18 recclnq 9409 . . . . . 6
19 recclnq 9409 . . . . . 6
20 mulclnq 9390 . . . . . 6
2118, 19, 20syl2an 485 . . . . 5
22 ltmnq 9415 . . . . 5
2321, 22syl 17 . . . 4
24 mulcomnq 9396 . . . . . . 7
25 mulassnq 9402 . . . . . . 7
26 mulcomnq 9396 . . . . . . 7
2724, 25, 263eqtr2i 2499 . . . . . 6
28 recidnq 9408 . . . . . . . 8
2928oveq2d 6324 . . . . . . 7
30 mulidnq 9406 . . . . . . . 8
3119, 30syl 17 . . . . . . 7
3229, 31sylan9eq 2525 . . . . . 6
3327, 32syl5eq 2517 . . . . 5
34 mulassnq 9402 . . . . . . 7
35 mulcomnq 9396 . . . . . . . 8
3635oveq2i 6319 . . . . . . 7
3734, 36eqtri 2493 . . . . . 6
38 recidnq 9408 . . . . . . . 8
3938oveq2d 6324 . . . . . . 7
40 mulidnq 9406 . . . . . . . 8
4118, 40syl 17 . . . . . . 7
4239, 41sylan9eqr 2527 . . . . . 6
4337, 42syl5eq 2517 . . . . 5
4433, 43breq12d 4408 . . . 4
4523, 44bitrd 261 . . 3
4613, 17, 45vtocl2ga 3101 . 2
472, 9, 46pm5.21nii 360 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cnq 9295  c1q 9296   cmq 9299  crq 9300   cltq 9301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-mi 9317  df-lti 9318  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-rq 9360  df-ltnq 9361 This theorem is referenced by:  addclprlem1  9459  reclem2pr  9491  reclem3pr  9492
 Copyright terms: Public domain W3C validator