Theorem ltrnq 9401

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnq	|- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Proof of Theorem ltrnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 9348	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4882	. 2 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	1	brel 4882	. . 3 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) )
4		dmrecnq 9390	. . . . 5 |- dom *Q = Q.
5		0nnq 9346	. . . . 5 |- -. (/) e. Q.
6	4, 5	ndmfvrcl 5888	. . . 4 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> B e. Q. )
7	4, 5	ndmfvrcl 5888	. . . 4 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> A e. Q. )
8	6, 7	anim12ci 570	. . 3 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
9	3, 8	syl 17	. 2 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
10		breq1 4404	. . . 4 |- ( x = A -> ( x <Q y <-> A <Q y ) )
11		fveq2 5863	. . . . 5 |- ( x = A -> ( *Q ` x ) = ( *Q ` A ) )
12	11	breq2d 4413	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) )
13	10, 12	bibi12d 323	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) <-> ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
14		breq2 4405	. . . 4 |- ( y = B -> ( A <Q y <-> A <Q B ) )
15		fveq2 5863	. . . . 5 |- ( y = B -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` B ) )
16	15	breq1d 4411	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
17	14, 16	bibi12d 323	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) <-> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
18		recclnq 9388	. . . . . 6 |- ( x e. Q. -> ( *Q ` x ) e. Q. )
19		recclnq 9388	. . . . . 6 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
20		mulclnq 9369	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) e. Q. /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
21	18, 19, 20	syl2an 480	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
22		ltmnq 9394	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
24		mulcomnq 9375	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
25		mulassnq 9381	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
26		mulcomnq 9375	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2478	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
28		recidnq 9387	. . . . . . . 8 |- ( x e. Q. -> ( x .Q ( *Q ` x ) ) = 1Q )
29	28	oveq2d 6304	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) )
30		mulidnq 9385	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
32	29, 31	sylan9eq 2504	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( *Q ` y ) )
33	27, 32	syl5eq 2496	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( *Q ` y ) )
34		mulassnq 9381	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) )
35		mulcomnq 9375	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) .Q y ) = ( y .Q ( *Q ` y ) )
36	35	oveq2i 6299	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
37	34, 36	eqtri 2472	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
38		recidnq 9387	. . . . . . . 8 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
39	38	oveq2d 6304	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) )
40		mulidnq 9385	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
41	18, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
42	39, 41	sylan9eqr 2506	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( *Q ` x ) )
43	37, 42	syl5eq 2496	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( *Q ` x ) )
44	33, 43	breq12d 4414	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
45	23, 44	bitrd 257	. . 3 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
46	13, 17, 45	vtocl2ga 3114	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
47	2, 9, 46	pm5.21nii 355	1 |- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Q.cnq 9274   1Qc1q 9275   .Q cmq 9278   *Qcrq 9279   <Q cltq 9280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-ni 9294  df-mi 9296  df-lti 9297  df-mpq 9331  df-ltpq 9332  df-enq 9333  df-nq 9334  df-erq 9335  df-mq 9337  df-1nq 9338  df-rq 9339  df-ltnq 9340

This theorem is referenced by:  addclprlem1  9438  reclem2pr  9470  reclem3pr  9471