Theorem ltrnq 9422

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnq	|- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Proof of Theorem ltrnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 9369	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4888	. 2 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	1	brel 4888	. . 3 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) )
4		dmrecnq 9411	. . . . 5 |- dom *Q = Q.
5		0nnq 9367	. . . . 5 |- -. (/) e. Q.
6	4, 5	ndmfvrcl 5904	. . . 4 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> B e. Q. )
7	4, 5	ndmfvrcl 5904	. . . 4 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> A e. Q. )
8	6, 7	anim12ci 577	. . 3 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
9	3, 8	syl 17	. 2 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
10		breq1 4398	. . . 4 |- ( x = A -> ( x <Q y <-> A <Q y ) )
11		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( x = A -> ( *Q ` x ) = ( *Q ` A ) )
12	11	breq2d 4407	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) )
13	10, 12	bibi12d 328	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) <-> ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
14		breq2 4399	. . . 4 |- ( y = B -> ( A <Q y <-> A <Q B ) )
15		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( y = B -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` B ) )
16	15	breq1d 4405	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
17	14, 16	bibi12d 328	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) <-> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
18		recclnq 9409	. . . . . 6 |- ( x e. Q. -> ( *Q ` x ) e. Q. )
19		recclnq 9409	. . . . . 6 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
20		mulclnq 9390	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) e. Q. /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
21	18, 19, 20	syl2an 485	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
22		ltmnq 9415	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
24		mulcomnq 9396	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
25		mulassnq 9402	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
26		mulcomnq 9396	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2499	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
28		recidnq 9408	. . . . . . . 8 |- ( x e. Q. -> ( x .Q ( *Q ` x ) ) = 1Q )
29	28	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) )
30		mulidnq 9406	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
32	29, 31	sylan9eq 2525	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( *Q ` y ) )
33	27, 32	syl5eq 2517	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( *Q ` y ) )
34		mulassnq 9402	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) )
35		mulcomnq 9396	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) .Q y ) = ( y .Q ( *Q ` y ) )
36	35	oveq2i 6319	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
37	34, 36	eqtri 2493	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
38		recidnq 9408	. . . . . . . 8 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
39	38	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) )
40		mulidnq 9406	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
41	18, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
42	39, 41	sylan9eqr 2527	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( *Q ` x ) )
43	37, 42	syl5eq 2517	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( *Q ` x ) )
44	33, 43	breq12d 4408	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
45	23, 44	bitrd 261	. . 3 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
46	13, 17, 45	vtocl2ga 3101	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
47	2, 9, 46	pm5.21nii 360	1 |- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Q.cnq 9295   1Qc1q 9296   .Q cmq 9299   *Qcrq 9300   <Q cltq 9301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-mi 9317  df-lti 9318  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-rq 9360  df-ltnq 9361

This theorem is referenced by:  addclprlem1  9459  reclem2pr  9491  reclem3pr  9492