Theorem ltrnq 8812

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnq	|- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Proof of Theorem ltrnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 8759	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4885	. 2 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	1	brel 4885	. . 3 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) )
4		dmrecnq 8801	. . . . 5 |- dom *Q = Q.
5		0nnq 8757	. . . . 5 |- -. (/) e. Q.
6	4, 5	ndmfvrcl 5715	. . . 4 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> B e. Q. )
7	4, 5	ndmfvrcl 5715	. . . 4 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> A e. Q. )
8	6, 7	anim12ci 551	. . 3 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
9	3, 8	syl 16	. 2 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
10		breq1 4175	. . . 4 |- ( x = A -> ( x <Q y <-> A <Q y ) )
11		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( x = A -> ( *Q ` x ) = ( *Q ` A ) )
12	11	breq2d 4184	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) )
13	10, 12	bibi12d 313	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) <-> ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
14		breq2 4176	. . . 4 |- ( y = B -> ( A <Q y <-> A <Q B ) )
15		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( y = B -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` B ) )
16	15	breq1d 4182	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
17	14, 16	bibi12d 313	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) <-> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
18		recclnq 8799	. . . . . 6 |- ( x e. Q. -> ( *Q ` x ) e. Q. )
19		recclnq 8799	. . . . . 6 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
20		mulclnq 8780	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) e. Q. /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
21	18, 19, 20	syl2an 464	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
22		ltmnq 8805	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
23	21, 22	syl 16	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
24		mulcomnq 8786	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
25		mulassnq 8792	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
26		mulcomnq 8786	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2430	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
28		recidnq 8798	. . . . . . . 8 |- ( x e. Q. -> ( x .Q ( *Q ` x ) ) = 1Q )
29	28	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) )
30		mulidnq 8796	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
31	19, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
32	29, 31	sylan9eq 2456	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( *Q ` y ) )
33	27, 32	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( *Q ` y ) )
34		mulassnq 8792	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) )
35		mulcomnq 8786	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) .Q y ) = ( y .Q ( *Q ` y ) )
36	35	oveq2i 6051	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
37	34, 36	eqtri 2424	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
38		recidnq 8798	. . . . . . . 8 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
39	38	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) )
40		mulidnq 8796	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
41	18, 40	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
42	39, 41	sylan9eqr 2458	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( *Q ` x ) )
43	37, 42	syl5eq 2448	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( *Q ` x ) )
44	33, 43	breq12d 4185	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
45	23, 44	bitrd 245	. . 3 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
46	13, 17, 45	vtocl2ga 2979	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
47	2, 9, 46	pm5.21nii 343	1 |- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Syntax hints:   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Q.cnq 8683   1Qc1q 8684   .Q cmq 8687   *Qcrq 8688   <Q cltq 8689

This theorem is referenced by:  addclprlem1  8849  reclem2pr  8881  reclem3pr  8882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-mi 8707  df-lti 8708  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-rq 8750  df-ltnq 8751