Theorem ltrnq 9374

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnq	|- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Proof of Theorem ltrnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 9321	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 5057	. 2 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	1	brel 5057	. . 3 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) )
4		dmrecnq 9363	. . . . 5 |- dom *Q = Q.
5		0nnq 9319	. . . . 5 |- -. (/) e. Q.
6	4, 5	ndmfvrcl 5897	. . . 4 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> B e. Q. )
7	4, 5	ndmfvrcl 5897	. . . 4 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> A e. Q. )
8	6, 7	anim12ci 567	. . 3 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
9	3, 8	syl 16	. 2 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
10		breq1 4459	. . . 4 |- ( x = A -> ( x <Q y <-> A <Q y ) )
11		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( x = A -> ( *Q ` x ) = ( *Q ` A ) )
12	11	breq2d 4468	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) )
13	10, 12	bibi12d 321	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) <-> ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
14		breq2 4460	. . . 4 |- ( y = B -> ( A <Q y <-> A <Q B ) )
15		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( y = B -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` B ) )
16	15	breq1d 4466	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
17	14, 16	bibi12d 321	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) <-> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
18		recclnq 9361	. . . . . 6 |- ( x e. Q. -> ( *Q ` x ) e. Q. )
19		recclnq 9361	. . . . . 6 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
20		mulclnq 9342	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) e. Q. /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
21	18, 19, 20	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
22		ltmnq 9367	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
23	21, 22	syl 16	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
24		mulcomnq 9348	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
25		mulassnq 9354	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
26		mulcomnq 9348	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2492	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
28		recidnq 9360	. . . . . . . 8 |- ( x e. Q. -> ( x .Q ( *Q ` x ) ) = 1Q )
29	28	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) )
30		mulidnq 9358	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
31	19, 30	syl 16	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
32	29, 31	sylan9eq 2518	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( *Q ` y ) )
33	27, 32	syl5eq 2510	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( *Q ` y ) )
34		mulassnq 9354	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) )
35		mulcomnq 9348	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) .Q y ) = ( y .Q ( *Q ` y ) )
36	35	oveq2i 6307	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
37	34, 36	eqtri 2486	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
38		recidnq 9360	. . . . . . . 8 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
39	38	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) )
40		mulidnq 9358	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
41	18, 40	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
42	39, 41	sylan9eqr 2520	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( *Q ` x ) )
43	37, 42	syl5eq 2510	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( *Q ` x ) )
44	33, 43	breq12d 4469	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
45	23, 44	bitrd 253	. . 3 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
46	13, 17, 45	vtocl2ga 3175	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
47	2, 9, 46	pm5.21nii 353	1 |- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Q.cnq 9247   1Qc1q 9248   .Q cmq 9251   *Qcrq 9252   <Q cltq 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ni 9267  df-mi 9269  df-lti 9270  df-mpq 9304  df-ltpq 9305  df-enq 9306  df-nq 9307  df-erq 9308  df-mq 9310  df-1nq 9311  df-rq 9312  df-ltnq 9313

This theorem is referenced by:  addclprlem1  9411  reclem2pr  9443  reclem3pr  9444