Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnj Structured version   Unicode version

Theorem ltrnj 34803
Description: Lattice translation of a meet. TODO: change antecedent to 
K  e.  HL (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnj.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrnj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
ltrnj.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnj.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnj  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem ltrnj
StepHypRef Expression
1 simp1l 1015 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 34035 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 ltrnj.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 eqid 2460 . . . 4  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
6 ltrnj.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
74, 5, 6ltrnlaut 34794 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
873adant3 1011 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
9 simp3l 1019 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
10 simp3r 1020 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
11 ltrnj.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 ltrnj.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
1311, 12, 5lautj 34764 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  ( LAut `  K )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  =  ( ( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) ) )
143, 8, 9, 10, 13syl13anc 1225 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   joincjn 15420   Latclat 15521   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LAutclaut 34656   LTrncltrn 34772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-map 7412  df-poset 15422  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-lat 15522  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776
This theorem is referenced by:  cdlemc2  34863  cdlemd2  34870  cdlemg2l  35274  cdlemg17h  35339  cdlemg17  35348
  Copyright terms: Public domain W3C validator