Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnj Structured version   Unicode version

Theorem ltrnj 33129
Description: Lattice translation of a meet. TODO: change antecedent to 
K  e.  HL (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnj.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrnj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
ltrnj.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnj.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnj  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem ltrnj
StepHypRef Expression
1 simp1l 1021 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 32361 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 ltrnj.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 eqid 2402 . . . 4  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
6 ltrnj.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
74, 5, 6ltrnlaut 33120 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
873adant3 1017 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
9 simp3l 1025 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
10 simp3r 1026 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
11 ltrnj.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 ltrnj.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
1311, 12, 5lautj 33090 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  ( LAut `  K )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  =  ( ( F `  X
)  .\/  ( F `  Y ) ) )
143, 8, 9, 10, 13syl13anc 1232 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X )  .\/  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   joincjn 15895   Latclat 15997   HLchlt 32348   LHypclh 32981   LAutclaut 32982   LTrncltrn 33098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7458  df-preset 15879  df-poset 15897  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-lat 15998  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-laut 32986  df-ldil 33101  df-ltrn 33102
This theorem is referenced by:  cdlemc2  33190  cdlemd2  33197  cdlemg2l  33602  cdlemg17h  33667  cdlemg17  33676
  Copyright terms: Public domain W3C validator